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2.

正の整数 n に対して，連立不等式

$$\left\{ \begin{array}{l} 0<x\le n\\ x \le y \le 3x \end{array} \right.$$

の表す領域を D_n とする．次の問に答えよ．

(1) 領域 D_n 内にある格子点 $\mathrm{P}(x,\ y)$の個数を S_nとする． S_nを n で表せ．ただし，格子点とは x 座標と y 座標の両方が整数で あるような点のことである．

(2) 原点 $\mathrm{O}(0,\ 0)$を始点とし，領域 D_n 内の格子点 $\mathrm{P}(x,\ y)$を終点とする位置ぺクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は， ベクトル

$$\overrightarrow{v_1}=(1,\ 1),\ \overrightarrow{v_2}=(1,\ 2),\ \overrightarrow{v_3}=(1,\ 3)$$

と0以上の整数 $m_1,\ m_2,\ m_3$を用いて

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}= m_1\overrightarrow{v_1}+ m_2\overrightarrow{v_2}+ m_3\overrightarrow{v_3}$$

と表せることを証明せよ．