次: 2. 東大前期理系 上: 2. 解答 前: 5.

6.

$\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$ とおく．条件から

$$z_{n+1}-z_n=\alpha(z_n-z_{n-1})$$

である． したがって

$$z_{n+1}-z_n=\alpha^n(z_1-z_0)=a\alpha^n$$

$\alpha\ne 1$ であるから

$$z_n=z_0+\sum_{k=0}^{n-1}a\alpha^k=\dfrac{a(1-\alpha^n)}{1-\alpha}$$

題意を満たす n が存在することは $1-\alpha^n=0$となる n が存在することと 同値である．

$$\begin{eqnarray*}1-\alpha^n=0&\iff&\cos n\theta+i\sin n\theta=1\\ &\iff&n\theta=360^{\circ} \cdot k となる k が存在する \end{eqnarray*}$$

このような k が存在するような n が存在すれば $\theta=360\cdot\dfrac{k}{n}$ となり，$\theta$ は有理数である． 逆に$\theta$ が有理数であるとし， $\theta=360\cdot\dfrac{p}{q}$とおく． $n\theta=360\cdot k$ は $n\cdot\dfrac{p}{q}=k$ である． これを満たすk がとれる n としてn=qが存在する．実際k=p が条件を満たす． よって題意が示された．