2013年入試問題研究に戻る

東大理科4番解答


 

※　下から2行目「よって」の前に中に「 $ s=2 $ のとき $ t=4 $ で $ z=4x $ である．」を入れる．

問題

注意1：�C，�Dを $ t $ で整理すると

$ t^2+st-(3s^2+4s+4)=0，t^2+t-(3s^2+3s+2)=0 $

となる．これから「ポンスレの定理」にある「消去法」，または「不変式」にある「終結式」によって

$ t $ を消去する．

$ (s+2)^2-(1-s)(3s^3-2s-4)=0 $

となる．これから同じ結果が得られる．

この方法であれば，3辺の長さが　 $ a,b,c $ でも $ s $ の方程式を作ることができる．

$ x^2+y^2-xy=a，y^2+z^2-yz=b，z^2+x^2-zx=c $

から，右辺の定数部分を消去して， $ x,y,z $ の2次同次式を作る． $ s=y/x，t=z/x $ とおくと，
$ s $ と $ t $ の連立2次方程式が得られる．消去法で $ s $ の4次方程式を作る．
これで解けるものなら解ける．

注意2： (2)の解答そのものは次のようにする方が簡明である．

(2) $ x=|\overrightarrow{\mathrm{PA}} | $ ， $ y=|\overrightarrow{\mathrm{PB}} | $ ， $ z=|\overrightarrow{\mathrm{PC}} | $ とおく． $ \bigtriangleup \mathrm{PAB} $ での余弦定理から \[ 1=x^2+y^2-2xy\cos\dfrac{2\pi}{3}=x^2+y^2+xy \] 他も同様なので，連立方程式 \[ \begin{array}{ll} x^2+y^2+xy=1&\cdots�@\\ y^2+z^2+yz=4&\cdots�A\\ z^2+x^2+zx=3&\cdots�B \end{array} \] を得る． $ �@\times(x-y) $ ， $ �A\times(y-z) $ ， $ �B\times(z-x) $ より \[ \begin{array}{l} x^3-y^3=x-y\\ y^3-z^3=4(y-z)\\ z^3-x^3=3(z-x) \end{array} \] 3式を加えて $ 0=-2x+3y-z $ ． $ z=-2x+3y $ を $ �A-�B $ に代入する． \[ y^2-x^2+(y-x)(-2x+3y)=1 \] これを整理して \[ x^2+4y^2-5xy=1 \] 得る．ここから $ �@ $ を引く． \[ 3y^2-6xy=0 \] $ y \ne 0 $ より $ y=2x $ ．これを $ �@ $ に代入して $ 7x^2=1 $ となる． $ x>0 $ なので， $ x=\dfrac{1}{\sqrt{7}} $ ． この結果， $ y=\dfrac{2}{\sqrt{7}} $ ， $ z=\dfrac{4}{\sqrt{7}} $ を得る．よって \[ |\overrightarrow{\mathrm{PA}} |=\dfrac{1}{\sqrt{7}},\quad |\overrightarrow{\mathrm{PB}} |=\dfrac{2}{\sqrt{7}},\quad |\overrightarrow{\mathrm{PC}} |=\dfrac{4}{\sqrt{7}}. \]