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91年理系

行列 $\matrix{1}{-1}{-2}{2}$で表される1次変換を $f$ とする．

1. $f$ による全平面の像は直線 $l: 2x+y=0$ であることを示せ．
2. 平面上の点 P$(x,y)$ に対し，$l$ 上の点で P との距離が最小となる点をQ とし， $f$ による像が Q となる点のうちで，原点との距離が最小となる点を $\mathrm{P}'$ とする． $\mathrm{P}'$ の座標 $(x',y')$ を $x$，$y$ で表せ．
3. 点 P$(x,y)$ に点 $\mathrm{P}'(x',y')$ を対応させる写像を $g$ とする． 合成写像 $f\circ g\circ f$ および $g\circ f\circ g$ を求めよ．