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78年文理

角 $\theta$ の回転を表わす行列を $R(\theta)$ とする． すなわち $R(\theta)=\matrix{\cos\theta}{-\sin\theta}{\sin\theta}{\cos\theta}$ とする． 2次正方行列 $X$ で，$X^3=R(\theta)$ をみたすものはどれだけあるかを考えたい．

1. 行列 $X$ が，$X^3=R(\theta)$ をみたせば，$X$ は逆行列をもち， かつ $R(\theta)X=XR(\theta)$ が成立することを示せ．
2. 　行列 $X$ が，ある角 $\alpha$ の回転を表わす行列 $R(\alpha)$ と， 左上が正，左下が0であるような行列 $T$ との積であるとする．すなわち $X=R(\alpha)T$， ただし $T=\matrix{a}{b}{0}{c}$ とする．

   このとき，もし $X$ が $R(\theta)X=XR(\theta)$ をみたし， さらに $\theta$ が $\pi$ の整数倍でなければ，$a=c$，$b=0$ であることを示せ．

3. 一般に，逆行列をもつ任意の行列 $X$ は， ある角 $\alpha$ の回転を表わす行列 $R(\alpha)$ と，左上が正， 左下が0であるような行列 $T$との積 $X=R(\alpha)T$ として表わされる． 行列に対応する1次変換を考えることによって，このことを示せ．
4. 　$X^3=R(\theta)$ をみたす行列 $X$ は， $\theta$ が $\pi$ の整数倍でなければ，ちょうど3個存在し， $\theta$ が $\pi$ の整数倍ならば，無限に多く存在することを示せ．