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83年文理

$ab+cd=0$，$ad-bc\not=0$ を満たす実数 $a$，$b$，$c$，$d$ のつくる行 列 $A=\matrix{a}{b}{c}{d}$ がある．ただし，$a$，$c$ は負でないとする．

1. $A=\matrix{v\cos\theta}{-v\sin\theta}{v\sin\theta}{v\cos\theta} \matrix{1}{0}{0}{u}$ と表されることを示せ． ただし，$u$，$v$，$\theta$ は実数で，$v>0$， $0\le \theta<2\pi$ とする．
2. Oを原点とする座標平面上の1次変換 $\vecarray{x'}{y'}=A\vecarray{x}{y}$ について，長さ1のベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\vecarray{x}{y}$ から，ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OP}'}=\vecarray{x'}{y'}$ への角度を $\gamma$（ $-\pi<\gamma\le\pi$）とする (したがって，半直線OPを角度 $\gamma$ だけ回転すれば半直線 $\mathrm{OP}'$ となる) ． $(x,y)$ が $x\ge 0$，$y\ge 0$，$x^2+y^2=1$ の範囲を動いたとき， $\gamma$ を最大にする $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を求めよ．ただし，$0<u<1$ とする．