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70年

解1

点$\mathrm{P}$から中心を通り直径$\mathrm{PQ}$を引く． また点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$への垂線の足を$\mathrm{H}$とする． 円の中心$\mathrm{O}$から弦$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を $\mathrm{OM}$，直線$\mathrm{OM}$と円の交点を$\mathrm{D}$とする． このとき $\mathrm{OM}=\sqrt{r^2-l^2}$なので

$$\mathrm{MD}=r-\sqrt{r^2-l^2}$$

である． つまり

$$2r(r-\sqrt{r^2-l^2})=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{MD}\quad \cdots\maru{1}$$

点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$への垂線の足$\mathrm{H}$が 線分$\mathrm{AB}$上にあるとき(図左)． 円周角の相等から

$$\angle \mathrm{PBA}=\angle \mathrm{PQA}$$

したがって， 2つの直角三角形 $\bigtriangleup \mathrm{PQA}$と $\bigtriangleup \mathrm{PBH}$ は相似である． 対応する辺の比例より

$$\mathrm{PA}:\mathrm{PQ}=\mathrm{PH}:\mathrm{PB}$$

これから

$$\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PH}\quad \cdots\maru{2}$$

$\maru{1},\ \maru{2}$から， 条件 $\mathrm{AP}\cdot\mathrm{BP}=2r(r-\sqrt{r^2-l^2})$は 条件 $\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{MD}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PH}$， つまり $\mathrm{PH}=\mathrm{MD}$と同値である．

点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$への垂線の足$\mathrm{H}$が 線分$\mathrm{AB}$上にないとき(図右)． 円周角の相等から

$$\angle \mathrm{QPA}=\angle \mathrm{QBA}$$

また

$$\begin{eqnarray*} &&\angle \mathrm{QBA}=\dfrac{\pi}{2}-\angle \mathrm{PBH}\\ &&\angle \mathrm{QPA}=\dfrac{\pi}{2}-\angle \mathrm{PAQ} \end{eqnarray*}$$

あわせて

$$\angle \mathrm{PBH}=\angle \mathrm{PAQ}$$

したがって， 2つの直角三角形 $\bigtriangleup \mathrm{PQA}$と $\bigtriangleup \mathrm{PBH}$ は相似である． 対応する辺の比例より

$$\mathrm{PA}:\mathrm{PQ}=\mathrm{PH}:\mathrm{PB}$$

これから

$$\mathrm{PA}\cdot\mathrm{PB}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PH}\quad \cdots\maru{3}$$

$\maru{1},\ \maru{3}$から 条件 $\mathrm{AP}\cdot\mathrm{BP}=2r(r-\sqrt{r^2-l^2})$は 条件 $\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{MD}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{PH}$， つまり $\mathrm{PH}=\mathrm{MD}$と同値である．

これを満たす点$\mathrm{P}$は， $l<r$なら，左図の点 $\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2$． $l=r$なら，右図の点 $\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1$．

解2

$l$は弦の長さなので$l>0$．ゆえにまた $2r(r-\sqrt{r^2-l^2})>0$である． よって点$\mathrm{P}$は点 $\mathrm{A},\ \mathrm{B}$ではあり得ない． $\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．

また，円の中心$\mathrm{O}$から弦$\mathrm{AB}$に下ろした垂線を $\mathrm{OM}$，直線$\mathrm{OM}$と円の交点を$\mathrm{D}$とする． $\mathrm{OM}=\sqrt{r^2-l^2}$なので

$$\mathrm{MD}=r-\sqrt{r^2-l^2}$$

である．

 

$$\bigtriangleup \mathrm{ABP}=\dfrac{1}{2}\mathrm{AP}\cdot\mathrm{BP}\sin \theta$$

である． 一方， $\angle \mathrm{AOB}=2\theta$であるから， $\angle \mathrm{MOB}=\theta$， つまり

$$\sin \theta=\dfrac{\mathrm{BM}}{\mathrm{OB}}=\dfrac{l}{r}$$

である．ゆえに

$$\begin{eqnarray*} &&\mathrm{AP}\cdot\mathrm{BP}=2r(r-\sqrt{r^2-l^2})\\ &\iff&\d... ...m{AP}\cdot\mathrm{BP}\sin \theta =r(r-\sqrt{r^2-l^2})\sin \theta \end{eqnarray*}$$

ここで $r\sin \theta=l$なので，条件 $\mathrm{AP}\cdot\mathrm{BP}=2r(r-\sqrt{r^2-l^2})$は

$$\bigtriangleup \mathrm{ABP}=l(r-\sqrt{r^2-l^2}) =\bigtriangleup \mathrm{ABD}$$

と同値である． 点$\mathrm{P}$から直線$\mathrm{AB}$への垂線の足を$\mathrm{H}$とすると． $\bigtriangleup \mathrm{ABP}$と $\bigtriangleup \mathrm{ABD}$は 底辺$\mathrm{AB}$を共有しているので，結局この条件は

$$\mathrm{PH}=\mathrm{DM}$$

と同値である．

これを満たす点$\mathrm{P}$は， $l<r$なら，左図の点 $\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2$． $l=r$なら，右図の点 $\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1$． (図略)

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