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77年

解1

1. 図のように $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$となる点$\mathrm{P}$をとり， 点$\mathrm{P}$を通って$\mathrm{AB}$に平行な直線$l$を引く． $\mathrm{AP}=\mathrm{PB}=\dfrac{m}{2}$である．
   
    
   $\mathrm{AQ}+\mathrm{QB}=m$となる点$\mathrm{Q}$で点$\mathrm{P}$とことなる点をとる．

   点$\mathrm{B}$の$l$に関する対称点を$\mathrm{B'}$とする． このとき

   $$\begin{eqnarray*} \mathrm{AQ}+\mathrm{QB'}&>&\mathrm{AP}+\mathrm{PB'}\\ &=&m=\mathrm{AQ}+\mathrm{QB} \end{eqnarray*}$$
   
   
   $$∴\quad \mathrm{QB'}>\mathrm{QB}$$
   
   
   これは点$\mathrm{Q}$が，$l$に関して直線$\mathrm{AB}$と同じ側にあることを意味している． よって 点$\mathrm{Q}$と直線$\mathrm{AB}$の距離は， 点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{AB}$の距離より小さい．
   
   $$∴\quad \bigtriangleup \mathrm{ABP}>\bigtriangleup \mathrm{ABQ}$$
   
   
   底辺の長さ $a$ が一定で， 他の2辺の和 $m$ も一定（$m>a$）であるような三角形のうち， 面積最大のものは，二等辺三角形であることが示された．
2. 四角形$\mathrm{ABCD}$で，3点 $\mathrm{A,\ B,\ C}$を固定し， $\mathrm{CD}+\mathrm{DA}$の和を変えないように点$\mathrm{D}$を動かす． すると(1)から $\mathrm{CD}=\mathrm{DA}$のとき $\bigtriangleup \mathrm{ACD}$の 面積が最大である．

   これが他の3組の隣りあう辺どうしについてもいえる． よって面積最大の四角形$\mathrm{ABCD}$では4辺の長さはすべて等しい． 四角形$\mathrm{ABCD}$は菱形であり，隣りあう2辺のなす角の一つを$\theta$とすると， 四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は $\mathrm{AB}^2\sin \theta$である．

   これが最大になるのは角 $\theta=90^{\circ}$のときである． つまり周囲の長さが一定な四辺形のうち， 面積最大のものは正方形であることが示された．

解2

図のように底辺の両端を $\mathrm{A}\left(-\dfrac{a}{2},\ 0 \right)$， $\mathrm{B}\left(\dfrac{a}{2},\ 0 \right)$とおく． また．他の頂点を $\mathrm{P}(x,\ y)$とする．

 

このとき $\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=m$から

$$\sqrt{\left(x+\dfrac{a}{2} \right)^2+y^2}+ \sqrt{\left(x-\dfrac{a}{2} \right)^2+y^2}=m$$

である．これから，

$$\left(x+\dfrac{a}{2} \right)^2+y^2+ 2\sqrt{\left(x+\dfrac{a}... ...c{a}{2} \right)^2+y^2}+ \left(x-\dfrac{a}{2} \right)^2+y^2=m^2$$

を得る．これを整理して

$$\sqrt{\left(x^2+y^2+\dfrac{a^2}{4} \right)^2-a^2x^2} =\dfrac{m^2}{2}-\left(x^2+y^2+\dfrac{a^2}{4} \right)$$

再び両辺平方して

$$\left(x^2+y^2+\dfrac{a^2}{4} \right)^2-a^2x^2 =\dfrac{m^4}{4... ...frac{a^2}{4} \right)m^2+\left(x^2+y^2+\dfrac{a^2}{4} \right)^2$$

これから

$$\dfrac{4x^2}{m^2}+\dfrac{4y^2}{m^2-a^2}=1\quad \cdots\maru{1}$$

を得る．

$$\bigtriangleup \mathrm{PAB}=\dfrac{a\vert y\vert}{2}$$

である． したがって $\bigtriangleup \mathrm{PAB}$の面積が最大になるのは$y$の絶対値が最大のときである．

$\maru{1}$から，$y^2$が最大になるのは$x=0$のときである． このとき

$$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$$

つまり $\bigtriangleup \mathrm{PAB}$は二等辺三角形である．