next up previous 次: 青空学園数学科 上: わかってにっこり 前: ある問題提起

ε−δ論法

2017年，そのことを痛感する経験をした．

こちらが教えた生徒で国立大薬学部の学生になったものに久しぶりに会った．大学の数学はおもしろいかと聞くと，解析の授業で $\epsilon-\delta$論法を習ったが，何も分からないと言う．大学の先生はどう言っているのだと聞くと，「数学を専攻するもの以外は分からなくてよい」と言ったというのである．

数学教育で $\epsilon-\delta$論法について，講義でこのように言われるかぎり，日本で iPhone が生まれることはない．青空学園数学科の『解析基礎』にしたがって，ここで模擬講義をする．

数列の収束

  1. 高校数学の極限で，「近づく」とか「収束する」とかが，感覚的な表現であること． いかに厳密な表現で定義するのかが問題である．

    数列$\{a_n\}$が数$\alpha$に収束することは，高校数学では 「$n$がかぎりなく大きくなるとき，$a_n$は$\alpha$にかぎりなく近づく」ことと定義し， $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$と書き表す．

  2. だが「かぎりなく」というのはどういうことだろうか．これは必ずしも明確ではない． また，「$n \to \infty$」は「$n$がいくらでも大きくなる」と理解する． しかし「いくらでも大きくなる」もまた必ずしも明確ではない．
  3. 収束や極限値という概念の定義のなかの言葉にはこのように「無限」が潜んでいる． 無限という概念は，人に魅力あるものだが，危険も伴う．
  4. 収束や極限値を「無限」を用いずに定義することはできないのか． 高校時代の論証に用いられた言葉を振り返り，それが「任意の」と「存在する」， および「ならば」でできていたことを再確認する．これらだけで「収束」を定義できないか．

ここで学生自身に考えさせる．一定の時間を経て，次の解決方法を提示する．

数列$\{a_n\}$が数$\alpha$に収束することを次のように定義してはどうか．

任意の正の実数$\epsilon$対し， $n> N$なら となる自然数$N$が存在する．

高校教科書で習った意味で収束するとき，これがなりたつことを確認する． そして，この命題のなかには「かぎりなく」や「いくらでも」という言葉がないことも確認する．

これをもとに数列の和差や積に関する基本的な性質を証明する．続いて連続関数の定義に進む．

実数の連続と関数の連続

関数の連続性や収束性を論述するためにこそ $\epsilon-\delta$論法を用いる． 連続性の厳密な定義そのものが $\epsilon-\delta$論法を必要としている．

関数は実数の部分区間$I$で定義されたものとする．実数の区間$I$で定義され実数値をとる関数を$f$とする．$f$は集合$I$から実数の集合$\mathbb{R}$への写像に他ならない．以下$f$はこのような関数であるとする． この区間で関数が連続であることを次のように定義しよう．

関数$f(x)$と区間$I$の点$c$がある． 任意の正の実数$\epsilon$に対して，正の実数$\delta$で

\begin{displaymath} \vert x-c\vert<\delta \quad \Rightarrow \quad \vert f(x)-f(c)\vert<\epsilon \quad \quad \quad (*) \end{displaymath}

となるものが存在するとき，関数$f(x)$は$x=c$で連続である，という．

教えるものがまずつかみ，そして少し時間をかければ，以上のことを伝えることが出来る．そして，たとえ自分では $\epsilon-\delta$論法を構成できなくても，何が問題であるかをつかむなら，講師が示す解決方法を「うまいな，おもしろいな」と納得することができる．

機会あれば，これを実際に講義してみたいものである．

$\epsilon-\delta$論法の意義

$\epsilon-\delta$論法は，収束性を「すべて」と「存在する」という論理の言葉で論じる方法である．いわば無限を有限の言葉でつかむ方法である．数学的な現象を人間が論理の言葉でつかむうえで不可欠である．

もとより，この論法が確立するまでには幾多の試行錯誤があった．その歴史は『 $\epsilon-\delta$論法とその形成』[(3)]に詳しい． $\epsilon-\delta$論法もまた，歴史的制約の中での理論であり，それを最終的な方法であると言うことはできない．しかし，まずこの方法を習得し身につけることが，現代において数学を学ぶことことの意味の一つであり，この段階をふまえることは不可避である．

大学初年級の解析学ではここで躓くことが多いと言われる．まずそれは教える側の力量の問題として考えねばならない．そのうえで，学生にも考えてもらいたい．この論法が苦手な人は，いちどこれを用いずに収束性を厳密に論じてみようとすればよい．やってみればただちに $\epsilon-\delta$論法の重要性がわかる．

まず自分で厳密な組み立てようとする．そして，やはり有限の言葉でこれをつかもうとすれば，これしかないことを納得する．この過程を自ら経験することによってはじめてこの論法の重要性がわかり，日常的な言語感覚や論証感覚を省みることができる．

命題の意味を理解し，それが成立する根拠を問うことをつねに行う．このような問いかけと，そしてそれに応える方法を模索し確立する． $\epsilon-\delta$論法をとおして，学生自身に考えさせつつ，このようなことが講義され，その方法が方法としてまとめられる．このような蓄積がなされる講義でなければならない．



Aozora 2018-08-09