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バナッハのマッチ箱

問題 4.3       解答4.3
  1. $n$ 本入ったマッチ箱が2つあり,各箱から任意に取り出していく. 一方を開けたら空であったとき,他方に $k$ 本のマッチが残っている確率 $p_k$ を求めよ. ただし,$2n$本使うまで試行はなされるものとする.
  2. 残っている本数の期待値がEn
    \begin{displaymath}
\dfrac{(2n+1){}_{2n}\mathrm{C}_{n}}{2^{2n}}-1
\end{displaymath}
    であることを証明せよ.

    ただし必要なら,$\vert x\vert<1$ のとき $\dfrac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+ \cdots$ となることを 用いてよい.
    ※ただし,用いない方法もある.


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