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ラグランジュの補間公式

問題 1.2       解答1.2

1. 任意の$n$次多項式$f(x)$と$n+1$個の相異なる点 $x=\alpha_0,\ \alpha_1,\ \cdots,\ \alpha_n$に対して次式を示せ．
   $$\begin{eqnarray*} f(x) & =& f(\alpha_0) \frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots ... ...lpha_n-\alpha_1) \cdots (\alpha_n-\alpha_{n-1})} \nonumber \\ \end{eqnarray*}$$
   
   

2. 最高次数の項の係数が1である$n$次多項式$f(x)$の，$n+1$個の相異なる点の集合 $I=\{\ 0,\ 1,\ \cdots,\ n\ \}$における最大偏位は，つねに $\dfrac{n!}{2^n}$以上である ことを示し，ちょうど $\dfrac{n!}{2^n}$となるものを求めよ．

   ただし，$I$における最大変位とは，$I$での各値の絶対値の最大値のことである．