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整数値をとる多項式

問題 1.3       解答1.3

$f(x)$ を実数係数の $k$ 次の整式とする． 任意の整数 $n$ に対して$f(n)$ が整数値をとるための条件に関して次の問に答えよ．

1. 『任意の整数 $n$ に対して，$f(n)$ が整数となるための必要十分条件は
   $f(x)$ の $k+1$ 個の連続する整数 $m,\ m+1,\ \cdots,\ m+k$ に対する値
   
   $$f(m),\ f(m+1),\ \cdots,\ f(m+k)$$
   
   
   がすべて整数値である』ことを示そう．
   
   1. $n$ 次の整式 $f(x)$ に対して
      
      $$f(x+1)-f(x)$$
      
      
      は $n-1$ 次以下であることを示せ．
   2. 冒頭の命題を数学的帰納法で示せ．
2. 0以上の整数 $l$ に対し
   
   $$u_l(x)=\dfrac{x(x-1)\cdots (x-l+1)}{l!}\ (l \ge 1のとき)， \quad u_0(x)=1$$
   
   
   とおく．
   1. $k$ 次多項式 $f(x)$ は実数 $c_0,\ c_1,\ \cdots ,c_k$ を用いて次のように表されることを示せ．
      
      $$f(x)=\sum_{l=0}^k c_l\cdot u_l(x)$$
      
      

   2. 任意の整数 $n$ に対して $f(n)$ が整数となるための必要十分条件は， $f(x)$ を上のように表したとき， $c_0,\ c_1,\ \cdots ,c_k$がすべて整数となることであることを示せ．