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調和列点と対合

複比と調和列点

命題 70        完全四角形 $p_i\ (1\le i\le 4)$の対辺 $p_1\vee p_2$と$p_3\vee p_4$の交点を$a$， $p_2\vee p_3$と$p_4\vee p_1$の交点を$b$とし， 直線$a\vee b$と対角線$p_1\vee p_3$の交点を$c$， 直線$a\vee b$と対角線$p_2\vee p_4$の交点を$d$とする． 4点$a,\ b,\ c,\ d$は調和点列をなす． ■

証明      この関係は $a,\ c,\ b,\ a,\ d,\ b$が四角性六点であることを意味し， 直線体$K(b,\ a,\ c)$の点における和の定義21から$c+d=b$を意味する． 同型 $\theta:K(b,\ a,\ c)\to K$で $\theta(c)=1,\ \theta(b)=0$ なので，$\theta(d)=-1$．つまり $[a,\ b;\ c,\ d]=-1$である． □

系 70.1        さらに， $e=(p_2\vee p_4)\cap(p_1\vee p_3)$， $f=(p_1\vee p_2)\cap(d\vee p_3)$とする． $[p_1,\ p_3;\ e,\ c]=[p_1,\ f;\ p_2,\ a]=-1$である． ■

証明     

$$\begin{eqnarray*}[p_1\ p_3;\ e,\ c] &=&[p_2\vee p_1,\ p_2\vee p_3;\ p_2\vee e,\... ...vee a,\ p_2\vee b;\ p_2\vee c,\ p_2\vee d] =[a,\ b;\ c,\ d]=-1 \end{eqnarray*}$$

よって $[p_1,\ p_3;\ e,\ c]=-1$． また

$$[p_1,\ f;\ p_2,\ a]=[d\vee p_1,\ d\vee f;\ d\vee p_2,\ d\vee a] =[p_1,\ p_3;\ e,\ c]=-1$$

□

この系は，完全四角形のとり方を変えることで命題70の読み直しでも示される．

対合

古典的な射影幾何で論証の主要な方法の一つが「対合」であった．

定義 27        射影直線$l$の恒等写像ではない射影変換$\varphi$で， $\varphi\circ\varphi$が恒等写像となるものを対合という．

$l$上の点$p,\ q$に対し，対合$\varphi$で

$$q=\varphi(p)$$

となるものが存在するとき，2点$p,\ q$は対合をなすという． ■

対合は行列でどのような形になるものなのか． 直線$l$上に同次座標$(x_0,\ x_1)$を設定する． $\varphi$を対合とする．可換体であるから，$\varphi$は 線型写像

$$\varphi\ :\ \left(\begin{array}{l} x_0\\ x_1 \end{a... ... \left(\begin{array}{l} x_0\\ x_1 \end{array} \right)$$

で表されるとしてよい．ただしこの行列は， 0行列でない二次行列$A$の集合を， 同値関係

$$A〜B\quad \iff\quad \exists k(\in K,\ \ne 0)\ ;\ B=kA$$

による商集合の同値類の代表である． このとき， $\varphi\circ\varphi$対応する行列の類は

$$\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&\delta ... ...mma(\alpha+\delta)&\beta\gamma+\delta^2 \end{array} \right)$$

よってこの変換が恒等変換と同一の類に属する条件は

$$\alpha^2+\beta\gamma=\beta\gamma+\delta^2,\ \beta(\alpha+\delta)=\gamma(\alpha+\delta) =0$$

である．これから $\delta=-\alpha$となる． つまり対合である条件は，それを表す行列の類が $\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&-\alpha \end{array} \right)$という形をしていて， その行列式について $\alpha^2+\beta\gamma\ne 0$であることである．

以下断らなくても直線$l$上の射影変換で考えるものとし， さらに同次座標が設定されているものとする．

命題 71        $l$上の2点$p(p_0,\ p_1)$と$q(q_0,\ q_1)$が $\varphi=\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&-\alpha \end{array} \right)$で対合をなすことは，関係式

$$\beta p_1q_1+\alpha(p_0q_1+p_1q_0)-\gamma p_0q_0=0$$

が成り立つことと同値である． ■

証明      $l$上の2点$p(p_0,\ p_1)$と$q(q_0,\ q_1)$が $\varphi$で対合をなすことをいいかえると， 点 $\left(\begin{array}{l} q_0\\ q_1 \end{array} \right)$と $\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&-\alpha \end{array} \right)\left(\begin{array}{l} p_0\\ p_1 \end{array} \right)$ が同一の点となることである．よって

$$q_0(\gamma p_0-\alpha p_1)-q_1(\alpha p_0+\beta p_1)=0$$

が条件である．これから命題の等式が成り立つ． 逆に命題の等式が成り立てば 2点$p(p_0,\ p_1)$と$q(q_0,\ q_1)$が $\varphi$で対合をなすことは，逆にたどることでわかる． □

命題 72        直線$l$の射影変換$\varphi$で

$$\varphi(a)\ne a,\ \varphi^2(a)= a$$

となる点$a$が存在すれば，$\varphi$は対合である． つまり任意の点$x$について $\varphi^2(x)= x$が成り立つ． ■

証明1     $x$に対して $\varphi(x)=x',\ \varphi(x')=x''$とおく． また$\varphi(a)=a'$とする．このとき

$$[a,\ a';\ x,\ x']=[a',\ a;\ x',\ x'']=[a,\ a';\ x'',\ x']$$

命題64より$x''=x$である． □

証明2     $\varphi$に対応する行列を $\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&\delta \end{array} \right)$とおく． 点$a$の非同次座標も$a$で表す． 条件から

$$\dfrac{\alpha a+\beta}{\gamma a+\delta}\ne a,\ \dfrac{(\a... ...a+\delta)} {\gamma(\alpha+\delta) a+\delta^2+\beta\gamma}=a$$

第2式から

$$(\alpha+\delta)\{\gamma a^2+(\delta-\alpha)a-\beta\}=0$$

第1式から $\gamma a^2+(\delta-\alpha)a-\beta\ne 0$なので， $\alpha+\delta=0$．つまり$\varphi$は対合である． □

系 72.1        異なる点の3組の点対 $(a,\ a'),\ (b,\ b'),\ (p,\ q)$が対合をなす， つまり$a'=\varphi(a)$， $b'=\varphi(b)$， $q=\varphi(p)$となる対合$\varphi$が存在する条件は

$$[a,\ b,\ p,\ q]=[a',\ b',\ q,\ p]$$

となることである． ■

証明     命題72の$a$として，$p$をとれば$q=\varphi(p)$，$p=\varphi(q)$ より$\varphi$は対合である． □

対合$\varphi$の不動点，つまり $\varphi(p)=p$となる点を自己対合点という． 一つの対合について自己対合点は， 高々二個である．なぜならそれは2次同次方程式

$$\beta p_1q_1+\alpha(p_0q_1+p_1q_0)-\gamma p_0q_0=0$$

の$(0,\ 0)$でない根でなければならないからである．

注意 3.3.2        ここで同次方程式とは， 未知数 $x,\ y,\ \cdots$に関するいくつかの等式を連立したもので， 各等式は同次の等式であるもののことである． これによって，解がある場合は未知数間の比が定まる．

同様にして次のことも成り立つ．

系 72.2        対合は，

1. 対合をなすべき2組の点対 $(a,\ a'),\ (b,\ b')$，
2. 対合をなすべき1組の点対$(a,\ a')$と一つの不動点，
3. 二つの不動点，

のいずれかを指定すれば一意に定まる．■

調和点列と対合に関する基本事項は次の命題である．

命題 73        直線$l$上の点の対合に関して次のことが成り立つ．
(1)     自己対合点が2個あるとき， これらはその対合で対合をなす異なる2点を調和に分ける．
(2)     2定点を調和に分ける点対は， 2定点をその対合の自己対合点となす対合に関して，対合をなす．
(3)     点対$(p,\ q)$が2組の点対$(a,\ b)$，$(a',\ b')$を同時に調和に分ければ， 点対 $(a,\ a'),\ (b,\ b'),\ (p,\ q)$は対合をなす． ■

証明
(1)      2点$a$と$b$が対合をなすとし，$p,\ q$が自己対合点とする． 言いかえるとある射影変換$\varphi$で

$$\varphi(a)=b,\ \varphi(b)=a,\ \varphi(p)=p,\ \varphi(q)=q$$

となるものがある． 複比は射影変換で不変であるから

$$\bigl[a,\ b;\ p,\ q\bigr] = \bigl[\varphi(a),\ \varphi(b)... ...= \bigl[b,\ a;\ p,\ q\bigr]= \bigl[a,\ b;\ p,\ q\bigr]^{-1}$$

同一の点はないので $\bigl[a,\ b;\ p,\ q\bigr]\ne 1$． よって $\bigl[a,\ b;\ p,\ q\bigr]=-1$．

直接計算      対合の行列を $\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&-\alpha \end{array} \right)$とする． 2点$a$と$b$が対合をなすとし，

$$a(\xi_0,\ \xi_1),\ b(\alpha\xi_0+\beta\xi_1,\ \gamma\xi_0-\alpha\xi_1)$$

とおく．また$p(p_0,\ p_1)$，$q(q_0,\ q_1)$が自己対合点とする． これらは2次同次方程式

$$\beta {x_1}^2+2\alpha x_0x_1-\gamma {x_0}^2=0$$

の根である．根と係数の関係から

$$\beta(p_0q_1+p_1q_0)=-2\alpha p_0q_0,\ \beta p_1q_1=-\gamma p_0q_0$$

である． 4点の複比は

$$\bigl[a,\ b;\ p,\ q\bigr]= \dfrac{(\xi_0p_1-\xi_1p_0) \{q... ...p_1(\alpha\xi_0+\beta\xi_1) -p_0(\gamma\xi_0-\alpha\xi_1)\}}$$

である．ここで

$$\begin{eqnarray*} 分子&=& (\alpha p_1q_1-\gamma p_1q_0)\xi_0^2 -(\beta p_0q... ...ha p_0q_1+\gamma p_0q_0+\beta p_1q_1+ \alpha p_1q_0)\xi_0\xi_1 \end{eqnarray*}$$

各係数を根と係数の関係で整理すると

$$\begin{eqnarray*} &&\alpha p_1q_1-\gamma p_1q_0 =\dfrac{1}{2}\{\gamma(p_0q_1+p... ... p_0q_1 =-\alpha p_0q_1+\alpha p_1q_0 =-\alpha(p_0q_1-p_1q_0) \end{eqnarray*}$$

となる．分母は$p$と$q$を入れ替えたものであり， このとき$p_0q_1-p_1q_0$は符号だけが逆になる． よって $\bigl[a,\ b;\ p,\ q\bigr]=-1$であり， 自己対合点$p,\ q$は対合をなす2点$a,\ b$を調和に分ける．

(2)     2定点 $a(\xi_0,\ \xi_1),\ b(\eta_0,\ \eta_1)$を 2点 $p(p_0,\ p_1)$，$q(q_0,\ q_1)$が調和に分けるとする．

$$\bigl[a,\ b;\ p,\ q\bigr]= \dfrac{(\xi_0p_1-\xi_1p_0)(\eta_0q_1-\eta_1q_0)} {(\xi_0q_1-\xi_1q_0)(\eta_0p_1-\eta_1p_0)}=-1$$

分母を払うと

$$(\xi_0p_1-\xi_1p_0)(\eta_0q_1-\eta_1q_0)+(\xi_0q_1-\xi_1q_0)(\eta_0p_1-\eta_1p_0) =0$$

これを整理すると

$$2\xi_0\eta_0p_1q_1-(\xi_1\eta_0+\xi_0\eta_1)(p_0q_1+p_1q_0)+2\xi_1\eta_1p_0q_0=0$$

の形になる．よって命題72より

$$\alpha=-(\xi_1\eta_0+\xi_0\eta_1),\ \beta=2\xi_0\eta_0,\ \gamma=2\xi_1\eta_1$$

として行列 $\left(\begin{array}{cc} \alpha&\beta\\ \gamma&-\alpha \end{array} \right)$で定まる対合によって，2点$p,\ q$は対合をなす． また$p,\ q$の両方に$a$を代入しても， $b$を代入しても方程式は満たされる． つまり$a$と$b$はこの対合に関する自己対合点である．

(3)    

$$[a,\ b;\ p,\ q]=[a',\ b';\ p,\ q]=-1$$

である．また $[a',\ b';\ q,\ p]=[a',\ b';\ p,\ q]^{-1}=-1$ なので，

$$[a,\ b;\ p,\ q]=[a',\ b';\ q,\ p]$$

系72.1より，点対 $(a,\ a'),\ (b,\ b'),\ (p,\ q)$は対合をなす． □

対合に関する古典的命題は数多くある． ここではもっとも基本的なもののみ取りあげた． これらの命題には古典的な射影幾何的証明と座標系による証明と，2系統の証明がある． 射影幾何の公理系から出発して座標系に至った立場では， これは同等なのであるが，両方を試みるとたいへんおもしろく， 今後とも必要に応じて両方法の対比を考えることにする．

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