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代数的な証明

19世紀になって代数的証明が見出された．その証明を，これまでの公理的射影幾何で確定した命題のもとに再構成する． ここでは係数体は可換でかつ閉体であるとする．

補題 17        射影平面$P^2$上に，任意の5点を与えるとき， これらすべてを通る二次曲線$Q$が存在する． これらの5点のうち，少なくとも4点が1直線上にないかぎり， $Q$はただ一つに定まる． ■

証明      5点が一般の位置にあるときは命題82そのものである． 3点が同一直線上にあるときは，その3点で定まる直線と， 他の2点で定まる直線に分解した二次曲線$Q$が一意に定まる． 4点が1直線上にあるときは， その4点で定まる直線と，他の1点を通る直線に分解した 二次曲線なので，一意に定まらない． □

パスカルの定理を次の形で再掲する． 本書では基本的に射影空間の点は小文字で， ユークリッド空間の点は大文字で表すようにしている． ただ代数的な証明では変数との区別を明確にするために， 点を大文字で表す．

同次座標 $(x_0,\ x_1,\ x_2)$に対し， $X$で$X={}^t(x)$を表すものとする． つまり$X$は縦ベクトルにとる．他の文字についても同様とする．

また3次対称行列$T$に対し，

$$L(X,\ Y)={}^tXTY$$

とおく．$T$が定める二次曲線を$Q$とし， $f(X)=L(X,\ X)$とおく．$f(X)=0$が$Q$の方程式， $Q$上の点$a$に対し$L(a,\ X)=0$は点$a$での接線の方程式， $Q$上にない点$a$に対し$L(a,\ X)=0$は点$a$の極線の方程式である．

パスカルの定理再掲

2次の同次式で定まる二次曲線$Q:f(X)=0$の上に異なる6点 $a_1,\ b_1,\ c_1$と $a_2,\ b_2,\ c_2$を取る．

直線$a_1b_2$と直線$b_1a_2$ の交点を$p_1$， 直線$b_1c_2$と直線$c_1b_2$ の交点を$p_2$， 直線$c_1a_2$と直線$a_1c_2$ の交点を$p_3$とする．

このとき3点 $p_1,\ p_2,\ p_3$ は一直線上にある． ■

証明      点$a_1$での接線と$b_2$ での接線の交点を $q_{a_1}^{b_2}$とかくと， 直線$a_1b_2$は

$$L(q_{a_1}^{b_2},\ X)=0$$

と表せる．$a_1b_2$上の点はこの方程式を満たす．以下同様に記号を定める．

そこで，次の二次式を満たす曲線

$$C:L(q_{b_1}^{a_2},\ X) L(q_{a_1}^{c_2},\ X)- \alpha L(q_{b_1}^{c_2},\ X) L(q_{a_1}^{a_2},\ X)=0$$

を考える． これは $a_1,\ b_1,\ a_2,\ c_2$ を通る．ここで，

$$\alpha=\dfrac{ L(q_{b_1}^{a_2},b_2) L(q_{a_1}^{c_2},b_2) }{ L(q_{b_1}^{c_2},b_2) L(q_{a_1}^{a_2},b_2) }$$

とおく． $\alpha$ をこのようにとると $C$ は $b_2$ も通る．

補題17から，$Q$と$C$は同一の曲線となる．

同様に次の二次式を満たす曲線

$$C':L(q_{a_1}^{b_2},\ X) L(q_{c_1}^{a_2},\ X)- \beta L(q_{c_1}^{b_2},\ X) L(q_{a_1}^{a_2},\ X)=0$$

を考える． これは $a_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2$を通る．ここで，

$$\beta= \dfrac{ L(q_{a_1}^{b_2},b_1) L(q_{c_1}^{a_2},b_1) }{ L(q_{c_1}^{b_2},b_1) L(q_{a_1}^{a_2},b_1) }$$

とおく． $\beta$ をこのようにとると $C'$ は $b_1$ も通る． 従って同様の理由で $C'$ は $Q$ と一致する．

二つの二次曲線の同次式は定数倍を除いて一致する．

$$\begin{eqnarray*} &&L(q_{b_1}^{a_2},\ X) L(q_{a_1}^{c_2},\ X)- \alpha L(q_{b_... ...a_2},\ X)- \beta L(q_{c_1}^{b_2},\ X) L(q_{a_1}^{a_2},\ X)\} \end{eqnarray*}$$

つまり

$$\begin{eqnarray*} &&L(q_{b_1}^{a_2},\ X) L(q_{a_1}^{c_2},\ X) -kL(q_{a_1}^{b_... ...\alpha L(q_{b_1}^{c_2},\ X) -k \beta L(q_{c_1}^{b_2},\ X) \} \end{eqnarray*}$$

この両辺の二次式を考える．

左辺に $p_1,\ p_3$ を代入すると0になるので，右辺も満たす． そして $p_1,\ p_3$ は $L(q_{a_1}^{a_2},\ X)=0$ 上にはない．よって，

$$\alpha L(q_{b_1}^{c_2},\ X) -k \beta L(q_{c_1}^{b_2},\ X)=0$$

の上にある． $p_2$ は明らかにこの式を満たす． ここで， $\mathrm{M}=\alpha q_{b_1}^{c_2}- k \beta q_{c_1}^{b_2}$ と置くとこの式は

$$\begin{eqnarray*} \alpha L(q_{b_1}^{c_2},\ X) -k \beta L(q_{c_1}^{b_2},\ X) &... ..._1}^{c_2}- k \beta q_{c_1}^{b_2},\ X)\\ &=&L(\mathrm{M},\ X) \end{eqnarray*}$$

と表される． つまり $p_1，p_2，p_3$ はすべて 直線 $L(\mathrm{M},\ X)= 0$の上にある． □