次: 代数的な証明 上: パスカルの定理 前: 幾何的定義による証明

座標三角形による証明

次に，座標による定義をもとにした証明をおこなおう． すでに「重心座標による証明」がある．これを射影幾何での証明に甦らせよう．

同次座標と直線

$P^2$に枠が定まればこれによって同次座標が定まる． 同次座標が $(a_0,\ a_1,\ a_2)$， $(b_0,\ b_1,\ b_2)$である 二点$q_1,\ q_2$を通る直線の方程式は

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x_0&x_1&x_2\\ a_0&a_1&a_2\\ b_0&b_1&b_2 \end{array} \right\vert=0$$ (4.3)

と表される． なぜなら，直線$q_1\vee q_2$上の点$(x)$は媒介変数$\lambda,\ \mu$をもちいて

$$(x)=\lambda(q_1)+\mu(q_2)$$

と表される．ただし $(q_i)$で点$q_i$の同次座標を表している． これは$K^3$における3ベクトル $(x),\ (q_1),\ (q_2)$が一次従属であることとで， それはまた3ベクトルによる行列式が0であることと同値になるからである． そしてこれは3点

$$(x)=(x_0,\ x_1,\ x_2),\ (q_1)=(a_0,\ a_1,\ a_2),\ (q_2)=(b_0,\ b_1,\ b_2)$$

が共線である条件でもある．

座標三角形

$P^2$において一般の位置にある4点 $p_0,\ p_1,\ p_2,\ u$による 枠 $\mathscr{F}=[p_0,\ p_1,\ p_2,\ u]$によって 同次座標が定まっているとき， 三角形$p_0p_1p_2$をこの同次座標の座標三角形という． 座標三角形の頂点である3点は，この同次座標に関して

$$(1,\ 0,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1)$$

となる．この座標三角形を使えば，重心座標によるパスカルの定理の証明を書き直すことができる．

証明2

定理10の3点 $p_1,\ p_3,\ p_5$とこれらと一般の位置にある点$u$をとり， 枠 $\mathscr{F}=[p_1,\ p_3,\ p_5]$を定める． この同次座標による$Q_2^1$の方程式を

$$\sum_{i,j=0}^2\alpha_{ij}x_ix_j=0$$

とする．これが $\bigtriangleup p_1p_3p_5$の頂点を通る． 頂点の同次座標$(1,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 1,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 1)$ が方程式を満たすので， $\alpha_{00}=\alpha_{11}=\alpha_{22}=0$である． よって方程式は

$$\alpha_{01}x_0x_1+\alpha_{12}x_1x_2+\alpha_{20}x_2x_0=0$$

となる． 枠$\mathscr{F}$に関する他の3点の座標を

$$p_2(\mu_0,\ \mu_1,\ \mu_2),\ p_4(\nu_0,\ \nu_1,\ \nu_2),\ p_6(\xi_0,\ \xi_1,\ \xi_2)$$

とする．これらが$Q_2^1$上にあるので

$$\left( \begin{array}{ccc} \mu_0\mu_1&\mu_1\mu_2&\mu_2\m... ...( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right)$$

係数$\alpha_{ij}$のすべてが0ではないので，

$$\left\vert \begin{array}{ccc} \mu_0\mu_1&\mu_1\mu_2&\mu... ...\xi_0\xi_1&\xi_1\xi_2&\xi_2\xi_0 \end{array} \right\vert=0$$ (4.4)

である． 二点 $p_1(1,\ 0,\ 0)$， $p_2(\mu_0,\ \mu_1,\ \mu_2)$を通る直線の方程式と， 二点 $p_5(0,\ 0,\ 1)$， $p_4(\nu_0,\ \nu_1,\ \nu_2)$を通る直線の方程式は，それぞれ

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x_0&x_1&x_2\\ 1&0&0\\ ... ...\nu_1&\nu_2 \end{array} \right\vert=-(\nu_1x_0-\nu_0x_1)=0$$

となる．これより

$$x_0:x_1=\nu_0:\nu_1,\ \quad x_1:x_2=\mu_1:\mu_2$$

なので，$p_1\vee p_2$と$p_4\vee p_5$の交点$a$の座標は

$$(\mu_1\nu_0,\ \mu_1\nu_1,\ \mu_2\nu_1)$$

同様にして， $p_3(0,\ 1,\ 0)$， $p_2(\mu_0,\ \mu_1,\ \mu_2)$を通る直線の方程式と， $p_5(0,\ 0,\ 1)$， $p_6(\xi_0,\ \xi_1,\ \xi_2)$を通る直線の方程式

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x_0&x_1&x_2\\ 0&1&0\\ ... ...\xi_1&\xi_2 \end{array} \right\vert=-(\xi_1x_0-\xi_0x_1)=0$$

から交点$b$を求めると

$$(\mu_0\xi_0,\ \mu_0\xi_1,\ \mu_2\xi_0)$$

また $p_3(0,\ 1,\ 0)$， $p_4(\nu_0,\ \nu_1,\ \nu_2)$を通る直線の方程式と， $p_1(1,\ 0,\ 0)$， $p_6(\xi_0,\ \xi_1,\ \xi_2)$を通る直線の方程式

$$\left\vert \begin{array}{ccc} x_0&x_1&x_2\\ 0&1&0\\ ... ...\xi_1&\xi_2 \end{array} \right\vert=-(\xi_2x_1-\xi_1x_2)=0$$

から 交点$c$を求めると

$$(\nu_0\xi_2,\ \nu_2\xi_1,\ \nu_2\xi_2)$$

となる．

$$\begin{eqnarray*} &&\left\vert \begin{array}{ccc} \mu_1\nu_0&\mu_1\nu_1&\mu... ... \xi_0\xi_1&\xi_1\xi_2&\xi_2\xi_0 \end{array} \right\vert=0 \end{eqnarray*}$$

つまり3点$a,\ b,\ c$は共線である． □ 次: 代数的な証明 上: パスカルの定理 前: 幾何的定義による証明