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交点論による証明

2次と3次の既約曲線の交点に関するベズーの定理88を用いることで，パスカルの定理の極めて簡明な証明が得られる．

ベズーの定理88によれば，射影平面上の2曲線 $C:f(x,\ y,\ z)=0$と $C':g(x,\ y,\ z)=0$は高々$6$個の共有点をもつ．

この対偶として，2次曲線と3次曲線が7個以上の共有点をもてば，互いに素ではない．つまり可約であり，共通因子をもつ．

パスカルの定理の証明

再掲されたパスカルの定理4.2.4を示す． また記号も，この命題の記号を用いる．

$\lambda,\ \mu$を定数として，

$$g(X)=\lambda L(q_{a_1}^{b_2},\ X) L(q_{b_1}^{c_2},\ X) L... ..._{b_1}^{a_2},\ X) L(q_{c_1}^{b_2},\ X) L(q_{a_1}^{c_2},\ X)$$

とおく．$g(X)=0$は 直線$a_1b_2$と直線$b_1a_2$ の交点$p_1$， 直線$b_1c_2$と直線$c_1b_2$ の交点$p_2$， 直線$c_1a_2$と直線$a_1c_2$ の交点$p_3$を通る． これらは$Q$上にない．

二次曲線$Q:f(X)=0$上の6点 $a_1,\ b_1,\ c_1$， $a_2,\ b_2,\ c_2$ 以外の点$r$をとり $g(r)=0$となるように$\lambda,\ \mu$を定める．

このとき$Q$と$g(X)=0$で定まる曲線は7個の点を共有する． よって$f(X)$と$g(X)$は共通因子をもつ．

7点は同一直線上にはないから， 共通因子は2次以上である． よって$g(X)$は$f(X)$で割りきれる． $g(x)=h(X)f(X)$とおくと，$h(X)$は1次式であり， $p_1,\ p_2,\ p_3$は $Q$上にはないので，$h(X)=0$を満たす． つまり， 3点 $p_1,\ p_2,\ p_3$ は一直線上にある． ■