次: 楕円関数による証明 上: 代数幾何へ 前: 代数幾何へ

射影幾何と代数幾何

本節以降は研究ノートである． 証明が出来ていないことも述べつつ，順次書いてゆく． したがってそのつど必要な改訂がなされる． この節はこれまで展開してきたことをこえる内容を前提とする． つまり，楕円積分と楕円関数の解析理論の基礎と， 楕円曲線の代数幾何的理論である． この分野の基本事項については，必要なことを証明なしに明示しつつ，進みたい． したがって，この節以下は自己完結ではない．

第1，楕円関数によるポンスレの定理の証明

ヤコビの証明では， 2つの円の一方に接する直線が他方と交わるときの2つの交点の位置関係に関する不変量が， 楕円積分を用いることで得られるという命題102を示した． これがポンスレの定理の根拠であった．

この基本思想のもと，ケーリーはさらに考察を深めた． ケーリー(Arthur Cayley)の論文集第2巻[42]所収の第113論文である． このケーリーの方法をもとに， ポンスレの定理12の楕円関数による証明を再構成する．

第2，ポンスレ多角形の存在条件

ケーリーはさらに， ポンスレの閉形定理が成立するための2つの円錐曲線に関する条件を導きその結論を述べた． それが論文集第2巻[42]所収の第115，116論文である． しかしそこに証明はない．

ところが1978年に，Griffiths と Harrisによって代数幾何的な証明がなされる． それが『ON CAYLEY'S EXPLICIT SOLUTION TO PONCELET'S PORISM』[39]である． さらにこれは『Poncelet's Theorem』[40]で包括的に展開されている． また，『Poncelet Porisms and Beyond』[41]ではさらに高次の場合にも拡張して，今日の問題まで述べられている． 2012年7月に，これらをご教示いただいた有本彰雄先生に心から感謝する．

この理論は本質的にリーマン面の解析的な理論にもとづいている．まずこの内容を再構成し，第116論文の定理を証明することをめざす．

第3，代数的証明をめざす

ポンスレの定理そのものは，楕円曲線の代数的方法で証明される． それが『代数幾何学』[38]においてなされている． この本の13章の冒頭「前章でポンスレの定理の証明が完成したが， この定理は『いつ$n$角形が描けるのか』については何もいっていない． この問題を考えていくのがこの章の目標である」と書かれているが， ポンスレ多角形のケーリーによる条件までは至っていない． ケーリーによる条件はどこまで代数的理論の範囲で求まるのか． あるいは解析理論なしには不可能なのか，ここを見極めたい．

以上のような目標をたて勉強をはじめたのが，2012年の5月であった． 以下はその過程をそのままにおく．

一般の位置

行列$C$で定まる円錐曲線$Q_0$と行列$D$で定まる円錐曲線$Q_1$がある． これらの円錐曲線は一般の位置にあるとする． つまり異なる4点を共有しているとする． 以下において，言割らずともそうであるとする．

一般の位置にない場合のポンスレの定理は，すでに一つの問題が未解決のままおかれている．一方で，『Poncelet's Theorem』[40]では一般の位置にない場合についても包括的に述べている．

この分野の研究は，一般の位置にある場合の課題に目処をつけて後，時間が許せば取りかかりたい．