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連続的な確率

例えば，ある人が6時から7時のいずれかの時刻に駅に着く． 6時から7時のいずれかの時刻に着く確率も等しい．

この場合，試行の結果は，着く時刻の全体である． 6時5分から10分の間に着く確率は何か．

これは $\dfrac{5}{60}=\dfrac{1}{12}$である．

このことは理解しやすい．しかし根元事象の確率，ちょうど6時3分に着く確率は0である． ここに違いがある．

いずれにせよ，確率空間が，実数の区間，平面領域，あるいは空間領域となり， その何れが起こるかが同様に確からしいとする．

そして，その一部が該当する事象に対応するばあい， その事象の確率が，長さの比や面積，体積の比になることは，理解しやすい．

連続的な確率もときに入試問題として出題されるが， その場合は何をもって確率とするのかが指示される．

一般的には，和に変えて積分が必要になる． 確率の考え方が理解できているときには， 積分の意味を理解すれば， これを連続的な確率の場合に一般化すること自体は難しくない．

以下は，数学IIIの微積分が必要である．

確認問題 5       解答5

次の確率を求めよ．

1. 1本の線分を無作為に2ヵ所で切断し，三つの線分を得る． こうして得られた3本の線分が三角形を作る確率．
2. 同じ長さの3本の線分を無作為に切断し，一方の側を取り出す． こうして得られた3本の新たな線分が三角形を作る確率．
3. 1本の線分を無作為に2ヵ所で切断し，三つの線分を得る． こうして得られた3本の線分が鋭角三角形を作る確率．
4. 同じ長さの3本の線分を無作為に切断し，一方の側を取り出す． こうして得られた3本の新たな線分が鋭角三角形を作る確率．

連続的な確率で，もっとも有名であり重要なものは ビュッホンの針と言われる問題である．

例 6        平面上に互いの距離が $2a$ である多くの平行線が引かれている． この平面上に長さが $2a$ の細い針を落とす．このとき針が一つ の直線と交わる確率を求めよ．

解答

長さが $2a$ の針の中点が一つの直線から $x$ の距離のところに落ちるとする． 針と，直線と直交する方向のなす角を $\theta$ とする．対称性を考慮し

$$0\le x\le a\ , \quad 0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}$$

としてよい．

このときこのとき針がこの直線と交わるのは

$$a \cos \theta \ge x$$

のときである． $x\theta$ 平面の領域

$$S_1=\{(x,\ \theta)\ \vert\ 0\le x\le a\ , \quad 0\le \theta \le \dfrac{\pi}{2}\}$$

のなかで 領域

$$S_2=\{(x,\ \theta)\ \vert\ (x,\ \theta)\in S_1,\ a \cos \theta \ge x\}$$

の占める面積は

$$\int_0^{ \frac{\pi}{2}}a \cos \theta \, d\theta=a$$

ゆえに求める確率は $S_1$ の面積が $\dfrac{a\pi}{2}$ であるから

$$\dfrac{a}{\frac{a\pi}{2}}=\dfrac{2}{\pi}$$

となる．

問題 12       ［01東大後期理科］    解答12

1. 図1のように，等間隔 $h$ で格子状に互いに直交する2組の無数の平行線が引い てある平面が与えられている．その上に半径1の円 $C$ を無作為に落とすとき， この円がちょうど2本の線と交わる確率 $p$ を求めよ．
2. 図2のように,半径$\sqrt{2}+1$の円が重複なく，かつ隣り合う円と接して無数に 敷き詰められた平面がある．この上に半径1の円 $C$ を無作為に落とすとき，その 円 $C$ が平面上のちょうど3つの円と交わる確率 $q$ を求めよ．

ただし解答にあたり次のことを用いてよい．

平面上に共に原点 O を始点とする一次独立な2つのベクトルa，bを考え,点 O とa，b，a+bの3つのぺクトルの終点の4点を頂点とする平行四辺形を $E$ とする． $E$ の領域 $F$ に対して， $F$ をaとbの整数係数の一次結合 $m$a+ $n$bによって平行移動したもの全体の和集合を $D$ とする．即ち記号で書くと

$$D=\{{\rm {\bf x}}+m{\rm {\bf a}}+n{\rm {\bf b}}\ \vert \ {\rm {\bf x}}\in F,\ m \in {\rm Z},\ n \in {\rm Z}\}$$

とおく．ここで Z は整数全体を表す．

このとき平面に1点 $P$ を無作為に落とすとき，その点が $D$ 内に落ちる確率は， $F$ の面積の平行四辺形 $E$ の面積に対する比になっている．

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