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確認問題

    解答 1       問題1

1番の玉が赤である事象を$A$， 3番の玉が白である事象を$B$とする．

$$\begin{eqnarray*} P(A)&=&\dfrac{3}{8}\\ P(A\cap B)&=&\dfrac{3}{8}\times \lef... ...2}{7}\cdot\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{4}{6} \right)\\ \end{eqnarray*}$$

$$∴\quad P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{5}{7}$$

    解答 2       問題2

事象$A$と事象$B$が独立となるということは

$$P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)$$

となればよい．

$$P(A)=\dfrac{m}{6},\ P(B)=\dfrac{1}{2}$$

である．ここで $\left[\dfrac{m}{2}\right]$で，$m$が偶数なら$\dfrac{m}{2}$を $m$が奇数なら $\dfrac{m-1}{2}$を表すことにすると

$$P(A\cap B)=\dfrac{\left[\dfrac{m}{2}\right]}{6}$$

である． したがって，

$$P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)\quad \iff \quad \left[\dfrac{m}{2}\right]=\dfrac{m}{2}$$

である．つまり 事象$A$と事象$B$が独立となるような$m$の値は2か4である．

    解答 3       問題3

$X$のとりうる値の範囲は1から6である． $X=k$となる事象は，白玉が$k-1$回続いた後，赤玉が出る事象である．

$$\begin{eqnarray*} P(X=1)&=&\dfrac{4}{9}\\ P(X=2)&=&\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{... ...ac{2}{6} \cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{4}{4}=\dfrac{1}{126}\\ \end{eqnarray*}$$

$$∴\quad E= 1\cdot\dfrac{4}{9}+ 2\cdot\dfrac{5}{18}+ 3\c... ...t\dfrac{5}{63}+ 5\cdot\dfrac{2}{63}+ 6\cdot\dfrac{1}{126}=2$$

    解答 4       問題4

10円硬貨のうち表が出た硬貨の金額の合計を$X_1$， 50円硬貨のうち表が出た硬貨の金額の合計を$X_2$とする．

確率変数$X_1$，$X_2$の確率分布はそれぞれ次のようになる．

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} X_1&10&... ... &{}_3\mathrm{C}_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \end{array}$$

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\v... ... &{}_5\mathrm{C}_5\left(\dfrac{1}{2}\right)^5 \end{array}$$

ゆえに

$$\begin{eqnarray*} E(X_1)&=& 10\cdot{}_3\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^3... ...t(\dfrac{1}{2}\right)^5\\ &=&\dfrac{50(5+20+30+20+5)}{32}=125 \end{eqnarray*}$$

$$∴\quad E(X)=E(X_1)+E(X_2)=15+125=140$$

    解答 5       問題5

1. 線分の長さを1にして一般性を失わない．長さ $x\ (>0),\ y\ (>0)$ と $1-x-y\ (>0)$ に切断したとする．こうして得られた3本の線分が三角形を作る条件は
   
   $$x+y>1-(x+y),\ x+1-(x+y)>y,\ 1-(x+y)+y>x$$
   
   
   である．

   従って求める確率は 領域
   

   $$D_1=\{(x,\ y)\ \vert\ x>0,\ y>0,\ 1>x+y \}$$
   
   
   の面積に対する，領域
   
   $$D_2=\{(x,\ y)\vert(x,\ y)\in D_1,\ 2(x+y)>1,\ 1>2x,\ 1>2y \}$$
   
   
   の面積の比である．(図1)

   従って求める確率は
   

   $$\dfrac{1}{4}$$
   
   

2. 3本の線分の長さを1にしてよい．取り出された各線分の長さを $0<x,\ y,\ z<1$ とする．こうして得られた3本の新たな線分が三角形を作る条件は
   
   $$x+y>z,\ y+z>x,\ z+x>y$$
   
   
   従って求める確率は 立方体
   
   $$T_1=\{(x,\ y,\ z)\ \vert\ 1>x>0,\ 1>y>0,\ 1>z>0 \}$$
   
   
   の体積に対する，立体
   
   $$T_2=\{(x,\ y,\ z)\vert(x,\ y,\ z)\in T_1,\ x+y>z,\ y+z>x,\ z+x>y \}$$
   
   
   の体積の比である．

   $T_2$ の体積を求める． $z=t$ での切断面は図2のようになりその面積は
   

   $$1-\left\{\dfrac{1}{2}t^2+2\cdot\dfrac{1}{2}(1-t)^2\right\}=-\dfrac{3}{2}t^2+2t$$
   
   
   よって $T_2$ の体積は
   
   $$\int_0^1\left(-\dfrac{3}{2}t^2+2t\right)\,dt= \left[-\dfrac{1}{2}t^3+t^2 \right]_0^1 =\dfrac{1}{2}$$
   
   

   従って求める確率は
   

   $$\dfrac{1}{2}$$
   
   

3. (1)のもとで得られた3本の線分が鋭角三角形を作る条件は $D_2$ の条件に加えて
   
   $$x^2+y^2>\{1-(x+y)\}^2,\ x^2+\{1-(x+y)\}^2>y^2,\ \{1-(x+y)\}^2+y^2>x^2$$
   
   
   である．その領域を $D_3$ とする．この条件は
   
   $$y>1-\dfrac{1}{2-2x},\ y<-x+\dfrac{1}{2-2x},\ x<-y+\dfrac{1}{2-2y}$$
   
   
   と書き表される．

   $D_3$ の面積(境界を含む)は， $D_2$ の面積から，図3の領域(イ)一つ，と領域(ロ)を二つ分を減じたものである．

   (イ)の面積は
   

   $$\int_0^{ \frac{1}{2}}\left\{1- \dfrac{1}{2-2x}- \left(\dfra... ... \frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}+x- \dfrac{1}{2-2x}\right)\,dx$$
   
   
   となりこれは(ロ)の面積に等しい．この値を求める．
   
   $$\int_0^{ \frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}+x- \dfrac{1}{2-2x}\... ...x) \right]_0^{ \frac{1}{2}} =\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\log 2$$
   
   

   ゆえに $D_3$ の面積は
   

   $$\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2} \right)^2-3 \cdot \left\{\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\log 2 \right\} =\dfrac{3}{2}\log 2-1$$
   
   

   従って3本の線分が鋭角三角形を作る確率は
   

   $$3\log 2-2$$
   
   

4. (2)のもとで得られた3本の線分が鋭角三角形を作る条件は $T_2$ の条件に加えて
   
   $$x^2+y^2>z^2,\ x^2+z^2>y^2,\ z^2+y^2>x^2$$
   
   
   である．この立体を $T_3$ とする．

   $T_3$ の体積(境界を含む)をもとめる． $z=t$ での切断面において， $T_2$ の切断面から， 図4の領域(ハ)一つ，と領域(ニ)を二つ分を減じたものである．

   (ハ)の面積は
   

   $$\dfrac{1}{4}\pi t^2 -\dfrac{1}{2}t^2$$
   
   
   したがって $0\le t \le 1$ を動かすときその体積は
   
   $$\int_0^1\left(\dfrac{1}{4}\pi t^2 -\dfrac{1}{2}t^2\right)\,... ... -\dfrac{1}{6}t^3 \right]_0^1 =\dfrac{1}{12}\pi-\dfrac{1}{6}$$
   
   
   (ニ)の部分から定まる体積は条件の対称性から(ハ)の部分から定まる体積に等しい．

   ゆえに $T_3$ の面積は $T_2$ の体積が $\dfrac{1}{2}$ であったので，
   

   $$\dfrac{1}{2}-3\cdot \left\{ \dfrac{1}{12}\pi-\dfrac{1}{6}\right\}=1-\dfrac{1}{4}\pi$$
   
   

   従って3本の線分が鋭角三角形を作る確率は
   

   $$1-\dfrac{1}{4}\pi$$
   
   

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