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確認問題

    解答 1       問題1

1番の玉が赤である事象を$A$, 3番の玉が白である事象を$B$とする.

\begin{eqnarray*}
P(A)&=&\dfrac{3}{8}\\
P(A\cap B)&=&\dfrac{3}{8}\times
\lef...
...2}{7}\cdot\dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{7}\cdot\dfrac{4}{6} \right)\\
\end{eqnarray*}


\begin{displaymath}
∴\quad P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{5}{7}
\end{displaymath}

    解答 2       問題2

事象$A$と事象$B$が独立となるということは

\begin{displaymath}
P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)
\end{displaymath}

となればよい.


\begin{displaymath}
P(A)=\dfrac{m}{6},\ P(B)=\dfrac{1}{2}
\end{displaymath}

である.ここで $\left[\dfrac{m}{2}\right]$で,$m$が偶数なら$\dfrac{m}{2}$$m$が奇数なら $\dfrac{m-1}{2}$を表すことにすると

\begin{displaymath}
P(A\cap B)=\dfrac{\left[\dfrac{m}{2}\right]}{6}
\end{displaymath}

である. したがって,

\begin{displaymath}
P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)\quad \iff \quad \left[\dfrac{m}{2}\right]=\dfrac{m}{2}
\end{displaymath}

である.つまり 事象$A$と事象$B$が独立となるような$m$の値は2か4である.

    解答 3       問題3

$X$のとりうる値の範囲は1から6である. $X=k$となる事象は,白玉が$k-1$回続いた後,赤玉が出る事象である.

\begin{eqnarray*}
P(X=1)&=&\dfrac{4}{9}\\
P(X=2)&=&\dfrac{5}{9}\cdot\dfrac{...
...ac{2}{6}
\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{4}{4}=\dfrac{1}{126}\\
\end{eqnarray*}


\begin{displaymath}
∴\quad E=
1\cdot\dfrac{4}{9}+
2\cdot\dfrac{5}{18}+
3\c...
...t\dfrac{5}{63}+
5\cdot\dfrac{2}{63}+
6\cdot\dfrac{1}{126}=2
\end{displaymath}

    解答 4       問題4

10円硬貨のうち表が出た硬貨の金額の合計を$X_1$, 50円硬貨のうち表が出た硬貨の金額の合計を$X_2$とする.

確率変数$X_1$$X_2$の確率分布はそれぞれ次のようになる.

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}
X_1&10&...
...
&{}_3\mathrm{C}_3\left(\dfrac{1}{2}\right)^3
\end{array}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\v...
...
&{}_5\mathrm{C}_5\left(\dfrac{1}{2}\right)^5
\end{array}
\end{displaymath}

ゆえに

\begin{eqnarray*}
E(X_1)&=&
10\cdot{}_3\mathrm{C}_1\left(\dfrac{1}{2}\right)^3...
...t(\dfrac{1}{2}\right)^5\\
&=&\dfrac{50(5+20+30+20+5)}{32}=125
\end{eqnarray*}


\begin{displaymath}
∴\quad E(X)=E(X_1)+E(X_2)=15+125=140
\end{displaymath}

    解答 5       問題5

  1. 線分の長さを1にして一般性を失わない.長さ $x\ (>0),\ y\ (>0)$$1-x-y\ (>0)$ に切断したとする.こうして得られた3本の線分が三角形を作る条件は

    \begin{displaymath}
x+y>1-(x+y),\ x+1-(x+y)>y,\ 1-(x+y)+y>x
\end{displaymath}

    である.

    従って求める確率は 領域

    \begin{displaymath}
D_1=\{(x,\ y)\ \vert\ x>0,\ y>0,\ 1>x+y \}
\end{displaymath}

    の面積に対する,領域

    \begin{displaymath}
D_2=\{(x,\ y)\vert(x,\ y)\in D_1,\ 2(x+y)>1,\ 1>2x,\ 1>2y \}
\end{displaymath}

    の面積の比である.(図1)

    従って求める確率は

    \begin{displaymath}
\dfrac{1}{4}
\end{displaymath}

  2. 3本の線分の長さを1にしてよい.取り出された各線分の長さを $0<x,\ y,\ z<1$ とする.こうして得られた3本の新たな線分が三角形を作る条件は

    \begin{displaymath}
x+y>z,\ y+z>x,\ z+x>y
\end{displaymath}

    従って求める確率は 立方体

    \begin{displaymath}
T_1=\{(x,\ y,\ z)\ \vert\ 1>x>0,\ 1>y>0,\ 1>z>0 \}
\end{displaymath}

    の体積に対する,立体

    \begin{displaymath}
T_2=\{(x,\ y,\ z)\vert(x,\ y,\ z)\in T_1,\ x+y>z,\ y+z>x,\ z+x>y \}
\end{displaymath}

    の体積の比である.

    $T_2$ の体積を求める. $z=t$ での切断面は図2のようになりその面積は

    \begin{displaymath}
1-\left\{\dfrac{1}{2}t^2+2\cdot\dfrac{1}{2}(1-t)^2\right\}=-\dfrac{3}{2}t^2+2t
\end{displaymath}

    よって $T_2$ の体積は

    \begin{displaymath}
\int_0^1\left(-\dfrac{3}{2}t^2+2t\right)\,dt= \left[-\dfrac{1}{2}t^3+t^2 \right]_0^1
=\dfrac{1}{2}
\end{displaymath}

    従って求める確率は

    \begin{displaymath}
\dfrac{1}{2}
\end{displaymath}

  3. (1)のもとで得られた3本の線分が鋭角三角形を作る条件は $D_2$ の条件に加えて

    \begin{displaymath}
x^2+y^2>\{1-(x+y)\}^2,\ x^2+\{1-(x+y)\}^2>y^2,\ \{1-(x+y)\}^2+y^2>x^2
\end{displaymath}

    である.その領域を $D_3$ とする.この条件は

    \begin{displaymath}
y>1-\dfrac{1}{2-2x},\ y<-x+\dfrac{1}{2-2x},\ x<-y+\dfrac{1}{2-2y}
\end{displaymath}

    と書き表される.

    $D_3$ の面積(境界を含む)は, $D_2$ の面積から,図3の領域(イ)一つ,と領域(ロ)を二つ分を減じたものである.

    (イ)の面積は

    \begin{displaymath}
\int_0^{ \frac{1}{2}}\left\{1- \dfrac{1}{2-2x}- \left(\dfra...
... \frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}+x- \dfrac{1}{2-2x}\right)\,dx
\end{displaymath}

    となりこれは(ロ)の面積に等しい.この値を求める.

    \begin{displaymath}
\int_0^{ \frac{1}{2}}\left(\dfrac{1}{2}+x- \dfrac{1}{2-2x}\...
...x) \right]_0^{ \frac{1}{2}}
=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\log 2
\end{displaymath}

    ゆえに $D_3$ の面積は

    \begin{displaymath}
\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{2} \right)^2-3
\cdot \left\{\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\log 2 \right\}
=\dfrac{3}{2}\log 2-1
\end{displaymath}

    従って3本の線分が鋭角三角形を作る確率は

    \begin{displaymath}
3\log 2-2
\end{displaymath}

  4. (2)のもとで得られた3本の線分が鋭角三角形を作る条件は $T_2$ の条件に加えて

    \begin{displaymath}
x^2+y^2>z^2,\ x^2+z^2>y^2,\ z^2+y^2>x^2
\end{displaymath}

    である.この立体を $T_3$ とする.

    $T_3$ の体積(境界を含む)をもとめる. $z=t$ での切断面において, $T_2$ の切断面から, 図4の領域(ハ)一つ,と領域(ニ)を二つ分を減じたものである.

    (ハ)の面積は

    \begin{displaymath}
\dfrac{1}{4}\pi t^2 -\dfrac{1}{2}t^2
\end{displaymath}

    したがって $0\le t \le 1$ を動かすときその体積は

    \begin{displaymath}
\int_0^1\left(\dfrac{1}{4}\pi t^2 -\dfrac{1}{2}t^2\right)\,...
... -\dfrac{1}{6}t^3 \right]_0^1
=\dfrac{1}{12}\pi-\dfrac{1}{6}
\end{displaymath}

    (ニ)の部分から定まる体積は条件の対称性から(ハ)の部分から定まる体積に等しい.

    ゆえに $T_3$ の面積は $T_2$ の体積が $\dfrac{1}{2}$ であったので,

    \begin{displaymath}
\dfrac{1}{2}-3\cdot \left\{ \dfrac{1}{12}\pi-\dfrac{1}{6}\right\}=1-\dfrac{1}{4}\pi
\end{displaymath}

    従って3本の線分が鋭角三角形を作る確率は

    \begin{displaymath}
1-\dfrac{1}{4}\pi
\end{displaymath}


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Aozora 2017-09-13