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１のn乗根

1の $n$ 乗根，すなわち方程式

$$x^n-1=0$$ (2.24)

の根は $n$ 個ある．それらは

$$\cos \dfrac{2k\pi}{n}+i\sin \dfrac{2k\pi}{n} \,,\ (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1)$$ (2.25)

である．これらはすべて偏角が異なり異なる複素数である． しかも$n$乗すると1になるので，方程式(2.24)の解である． したがってこの$n$個の複素数が$n$次方程式(2.24)の根のすべてであることがわかる．

簡単のために

$$\alpha=\cos \dfrac{2\pi}{n}+i\sin \dfrac{2\pi}{n}$$

とおく．ド・モアブルの定理より，(2.25)は

$$\alpha^k\ \,\ (k=0,\ 1,\ \cdots,\ n-1)$$

と表される． ここで $\alpha^n=1$ なので，(2.25)において $k$ に与えるべき値は $n$ を法としての一つの剰余系である． さらに$(k,\ n)=1$ のとき (2.25)において $\dfrac{2k\pi}{n}$は $n$ 倍してはじめて$2\pi$ になるので， $\alpha^k$ は $n$ 乗してはじめて 1 に等しくなる． 1の $n$ 乗根のうち $n$ 乗してはじめて 1 になるものを1の原始 $n$ 乗根という．

定理 21
     1の原始 $n$ 乗根は$\varphi (n)$個ある．それらは

$$\cos \dfrac{2k\pi}{n}+i\sin \dfrac{2k\pi}{n}$$ (2.26)

において, $k$ に $n$ を法としての既約剰余系の値を与えて得られるものである．■

証明     すでに述べたように$(k,\ n)=1$ のとき (2.26)の $\dfrac{2k\pi}{n}$は $n$ 倍してはじめて$2\pi$ になるので， $\alpha^k$ は $n$ 乗してはじめて 1 に等しくなる．つまり $\alpha^k$ は 原始 $n$ 乗根である．

逆に $\beta$ が原始 $n$ 乗根であるとする． $\beta$ は $x^n-1=0$ の根であるから $\beta=\alpha^l$ と表される．

もし $(l,\ n)=d>1$ なら $n=dn',\ l=dl'$ とおくとき

$$\cos \dfrac{2l\pi}{n}+i\sin \dfrac{2l\pi}{n} =\cos \dfrac{2l'\pi}{n'}+i\sin \dfrac{2l'\pi}{n'}$$

なので, $(\alpha^l)^{n'}=1$ となり, $n$ 乗してはじめて1となるという仮定に反する． ゆえに $(l,\ n)=1$ となる．

$\alpha^k$ が原始 $n$ 乗根となることと， $n$ と互いに素な $k$ を用いて $\alpha^k$ と表されることが同値であることが示された． よってその個数は$\varphi (n)$個である．□

ちなみに$\alpha^l$は原始 $n'$ 乗根である．これを次の定理22の証明に用いる．

例 2.3.1        1の6乗根は

$$1,\ -1,\ \dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2},\ \dfrac{1\pm\sqrt{3}i}{2}$$

そのうち原始6乗根は最後の二つだけである． $\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$ は原始3乗根， $-1$ は原始2乗根，1は1乗根である．

定理 22
     $n$ の素因数分解を $n=p^{\alpha}q^{\beta}r^{\gamma}\cdots$ とし，

$$F_n(x) \dfrac{(x^n-1)(x^{ \frac{n}{pq}}-1)(x^{ \frac{n}{qr}}-1)\cdots\cdots} {(x^{ \frac{n}{p}}-1)(x^{ \frac{n}{q}}-1)\cdots(x^{ \frac{n}{pqr}}-1)\cdots}$$ = (2.27)

$$\prod_{d\vert n}(x^{ \frac{n}{d}}-1)^{\mu(d)}$$ = (2.28)

とすれば, $F_n(x)$ は1の原始 $n$ 乗根のみを根とする多項式である． $F_n(x)$ は$\varphi (n)$次で，その最高次数の係数は1， その他の係数もすべて整数である． ここに$\mu (n)$はメビウスの関数である．■

証明     1の原始 $n$ 乗根のみを単根とする方程式で 最高次数の係数が1であるものを $F_n(x)=0$ とする． 定理21の証明より，その他の $n$ 乗根は $n$ の約数$d$ に対し、原始$\dfrac{n}{d}$乗根になるが， $d$ が1以外の約数を動けば$\dfrac{n}{d}$は $n$ 以外の約数を動くので，原始 $n$ 乗根以外の $n$ 乗根は $n$ の真の約数 $d$ を次数とする原始 $d$ 乗根になる． 原始 $n$ 乗根と合わせた全体がちょうど 1の$n$ 乗根の全体である．つまり $$\prod_{d\vert n}F_d(x)=x^n-1$$ となる． $x$ を十分大きく各 $F_d(x)$ が正の値をとるように固定する． それぞれの最高次数の係数が正なのでそれは可能である． その上で両辺の対数をとる．

$$\sum_{d\vert n}\log F_d(x)=\log(x^n-1)$$

整数 $n$ と $d$ に関する等式と見ればメビウスの反転公式(6節定理20) が使え

$$\log F_n(x)=\sum_{d\vert n}\mu(d)\log(x^{ \frac{n}{d}}-1)$$

つまり

$$F_n(x)=\prod_{d\vert n}(x^{ \frac{n}{d}}-1)^{\mu(d)}$$

両辺 $x$ の多項式で，十分大きい$x$ でつねに成立するので $x$ に関して恒等的に成立する．したがって(2.28)が示された．

$F_n(x)$ の次数は定理21より$\varphi (n)$で その係数は(2.28)より明らかに整数である． 式(2.27)の分子分母の最高次数の係数はともに1なので分母を払って 係数比較すれば$F_n(x)$ の最高次数の係数が1であることがわかる．□

例 2.3.2  

$$\begin{eqnarray*} F_6(x)&=&\dfrac{(x^6-1)(x-1)}{(x^2-1)(x^3-1)}=x^2-x+1\\ F_{... ...e}-1}{x^{p^{e-1}}-1}=x^{p^{e-1}(p-1)}+x^{p^{e-1}(p-2)}+\cdots+1 \end{eqnarray*}$$

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