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循環小数

既約分数を小数表示すると，有限小数かまたは循環小数になる． 循環節の長さはフェルマの小定理によって決定される．

定理 25
     $\dfrac{m}{n}$ は既約真分数で分母 $n$ は $(10,\ n)=1$ とする． このとき$\dfrac{m}{n}$ は循環小数に展開され，循環節の桁数を $e$ とすれば, $e$ は

$$10^e\equiv 1\quad (\bmod.\ n)$$

となる最小の正整数である． $e$ は$\varphi (n)$の約数で, $n$ のみによって定まる．■

証明     いま

$$10^e-1=n\cdot a$$

とおく．このとき

$$\begin{eqnarray*} \dfrac{m}{n}&=&\dfrac{ma}{na}=\dfrac{ma}{10^e-1}\\ &=&\dfrac{ma}{10^e}+\dfrac{ma}{10^{2e}}+\dfrac{ma}{10^{3e}}+\cdots \end{eqnarray*}$$

仮定から $m<n$ なので $ma<na<10^e$ ．ゆえに確かに$\dfrac{m}{n}$ は循環節の桁数 $e$ の 循環小数に展開されている．

逆に$\dfrac{m}{n}$ が $e$ 桁の循環節 $c$ をもつ循環小数なら

$$\dfrac{m}{n} =\dfrac{c}{10^e}+\dfrac{c}{10^{2e}}+\dfrac{c}{10^{3e}}+\cdots =\dfrac{c}{10^e-1}$$

$m$ と $n$ は互いに素なので $10^e-1=na,\ c=ma$ となり

$$10^e\equiv 1\quad (\bmod.\ n)$$

最小性は循環節の桁数の定義，つまりくりかえす最短の桁数，より明らか．□

$(10,\ n)=1$でないときはどうなるか．このとき $n=2^u5^vn'$ とおく． $u$ と $v$ の小さくない方を $k$ とする． $k=max(u,\ v)$ ．そして $\dfrac{10^km}{n}$ を約分して既約分数 $\dfrac{m'}{n'}$ を得るとする． すると$(10,\ n')=1$である． 10の$n'$を法とする指数を $e$ とすれば， $\dfrac{m'}{n'}$ は $e$ 桁の循環節をもつ循環小数になる．なお $n'=1$ になればこれは有限小数である．

この定理は実例によって納得するのがよい．

例 2.4.2        $n=7$とする．

$$\begin{eqnarray*} &&10^1\equiv 3\quad (\bmod.\ 7),\ 10^2\equiv 2\quad (\bmod.\ ... ...10^5\equiv 5\quad (\bmod.\ 7),\ 10^6 \equiv 1\quad (\bmod.\ 7) \end{eqnarray*}$$

10 の法 7 に対する指数 $e$ は 6 である．つまり 10 は素数 7 の原始根である．

循環小数の作られ方を詳しく見てみよう．

$$\begin{eqnarray*} 10^1&=&3+7\cdot 1\\ 10^2&=&2+7\cdot 14\\ 10^3&=&6+7\cdot ... ...\cdot 1428\\ 10^5&=&5+7\cdot 14285\\ 10^6&=&1+7\cdot 142857 \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} ∴\quad \dfrac{1}{7}&=&\dfrac{142857}{10^6-1}\\ &=&\dfrac{... ...+\dfrac{1}{10^{12}}+\cdots \right\}\\ &=&0.\dot{1}4285\dot{7} \end{eqnarray*}$$

以下は上の7で割った余りと商を用いて作られる．

$$\begin{array}{lll} \dfrac{3}{7}&=\dfrac{10^1}{7}-1&=0.\dot... ...{7}&=\dfrac{10^5}{7}-14285&=0.\dot{7}1428\dot{5} \end{array}$$

このうち $\dfrac{6}{7}$ はじつは

$$\dfrac{6}{7}+\dfrac{1}{7}=1=0.\dot{9}\quad より\quad 0.\dot{9}-0.\dot{1}4285\dot{7}=0.\dot{8}5714\dot{2}$$

としても求まる．

例 2.4.3        $n=13$とする．$10^7$以降は不要であるが書く．

$$\begin{eqnarray*} 10^1&=&10+13\cdot 0\\ 10^2&=&9+13\cdot 07\\ 10^3&=&12+13\... ...1}&=&4+13\cdot 07692307692\\ 10^{12}&=&1+13\cdot 076923076923 \end{eqnarray*}$$

10 の法 13 に対する指数 $e$ は 6 である．

$$\begin{eqnarray*} ∴\quad \dfrac{1}{13}&=&\dfrac{076923}{10^6-1}\\ &=&\dfrac... ...+\dfrac{1}{10^{12}}+\cdots \right\}\\ &=&0.\dot{0}7692\dot{3} \end{eqnarray*}$$

これから次の循環小数ができる．

$$\begin{array}{lll} \dfrac{10}{13}&=\dfrac{10^1}{13}-0&=0.\... ...3}&=\dfrac{10^5}{13}-07692&=0.\dot{3}0769\dot{2} \end{array}$$

これ以外のものは次の式から出る．

$$\begin{eqnarray*} 2\cdot10^1&=&7+13\cdot 1\\ 2\cdot10^2&=&5+13\cdot 15\\ 2\... ... 2\cdot10^5&=&8+13\cdot 15384\\ 2\cdot10^6&=&2+13\cdot 153846 \end{eqnarray*}$$

つまり

$$\begin{array}{lll} \dfrac{7}{13}&=\dfrac{2\cdot10^1}{13}-1... ...rac{2\cdot10^5}{13}-153846&=0.\dot{1}5384\dot{6} \end{array}$$

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