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四次フェルマ問題

ガウス環の整数論を応用して，四次のフェルマー問題を解こう．

定理 48
不定方程式

$$x^4+y^4=z^2$$

はガウス整数環のなかに$xyz\ne 0$の解をもたない．

証明     背理法で示す． $(x,\ y,\ z)\ne (0,\ 0,\ 0)$の解 $(\alpha,\ \beta,\ \gamma)$があるとする．

$$\alpha^4+\beta^4=\gamma^2$$

$\alpha$と$\beta$の最大公約数を$\delta$とすると，$\gamma^2$は$\delta^4$の倍数となり，これから$\gamma$は$\delta^2$の倍数となり，

$$\left(\dfrac{\alpha}{\delta} \right)^4+ \left(\dfrac{\beta}{\delta} \right)^4=\left(\dfrac{\gamma}{\delta^2} \right)^2$$

つまり $\left(\dfrac{\alpha}{\delta},\ \dfrac{\beta}{\delta},\ \dfrac{\gamma}{\delta^2} \right)$も解である．よってはじめから $\alpha$と$\beta$は互いに素，この結果$\alpha$と$\gamma$，$\beta$と$\gamma$も互いに素としてよい．以下の証明で$\alpha$や$\beta$は適宜その同半数に代えてもよいことに注意する．

$\alpha,\ \beta$がともに$\lambda=1-i$の倍数でないとする． 補題7より， $\alpha^4-1,\ \beta^4-1$はともに 8の倍数なので， $\alpha^4+\beta^4-2=\gamma^2-2$は8の倍数である． $\gamma^2-2=8\eta$とおくと $\gamma^2=2(1+4\eta)$となり$\gamma^2$が従って$\gamma$は素数$\lambda=1-i$の倍数である． $\gamma=\lambda\mu$とおくと $\gamma^2=-2i\mu^2$となり， $\mu^2$と2，つまりは$\mu$と$\lambda$は互いに素である．

一方， $\gamma^2-2=-2i\mu^2-2$は8の倍数である．つまり $-i\mu^2-1=-i(\mu^2-i)$より$\mu^2-i$が4の倍数となる． 補題7より$\mu^2-1$または$\mu^2+1$が4の倍数であり， この結果$1-i$または$1+i$が4の倍数となって，矛盾である．

よって$\alpha$と$\beta$の一方のみが$\lambda=1-i$の倍数である． $\alpha$と$\beta$について対称なので

$$\begin{array}{l} \alpha=\lambda^kx,\ kは正整数，\\ ... ...,\ \beta,\ \gamma は\lambda と互いに素． \end{array}$$

として良い．このとき

$$\lambda^{4k}x^4+\beta^4=\gamma^2$$

である．このような $x,\ \beta,\ \gamma$が存在しないことを示す． ここで証明すべきことを強め，

$$\epsilon\lambda^{4k}x^4+\beta^4=\gamma^2,\ \epsilon\ は単数$$ (4.3)

をみたす $x,\ \beta,\ \gamma$が存在しないことを示す． 等式(4.3)より

$$(\gamma+\beta^2)(\gamma-\beta^2)=\epsilon\lambda^{4k}x^4$$

である． $\gamma+\beta^2,\ \gamma-\beta^2$の公約数を$d$とする． $\beta^2$と$\gamma$はともに奇数なので和と差は偶数である． 一方$d$は $\gamma+\beta^2,\ \gamma-\beta^2$の和と差， つまり $2\gamma,\ 2\beta^2$の公約数である． $\beta$と$\gamma$は互いに素でともに奇数なので$d$は2の約数である． つまり $\gamma+\beta^2,\ \gamma-\beta^2$はともに $\lambda=1-i$の倍数である．

ここで $\gamma+\beta^2=\gamma-\beta^2+2\beta^2$なので， $\gamma+\beta^2$が$\lambda^2=-2i$の倍数であることと $\gamma-\beta^2$が $\lambda^2$の倍数であることは同値である．よって等式(4.3)となるためにはともに$\lambda^2=-2i$の倍数でなければならない．つまり$d=2$である．よってまた $\gamma+\beta^2$が$\lambda^2$の倍数であるが$\lambda^3$ の倍数ではなく， $\gamma-\beta^2$が $\lambda^{4k-2}$の倍数であるとして良い．逆の場合は$\beta$に代えて$i\beta$で考えればよい．よって等式(4.3)より

$$\begin{array}{l} \gamma+\beta^2=\epsilon_1\lambda^2y^4,\... ...da,\ zと\lambda はそれぞれ互いに素． \end{array}$$

と表せる．この結果

$$2\beta^2=\epsilon_1\lambda^2y^4-\epsilon_2\lambda^{4k-2}z^4$$

$\lambda^2=-2i$なので

$$\beta^2=-i\epsilon_1y^4+i\epsilon_2\lambda^{4k-4}z^4$$

$-i\epsilon_1,\ i\epsilon_2$を改めて $\epsilon_1,\ \epsilon_2$と置けば

$$\beta^2=\epsilon_1y^4+\epsilon_2\lambda^{4k-4}z^4$$ (4.4)

となる．

$k>1$を示す．$k=1$とする．このとき等式(4.5)の右辺の各項は 奇数なので和は偶数，つまり$\lambda$の倍数となる．これは$\beta$が$\lambda$と互いに素であることに反する．よって$k>1$である．

等式(4.5)において$k>1$であるから $\beta^2-\epsilon_1y^4$は$\lambda^4$の倍数．つまり4の倍数である．

一方，$\beta$も$y$も$\lambda$の倍数ではないので，補題7とその証明より$\beta^2+1$または$\beta^2-1$が4の倍数で，$y^4-1$は8の倍数である．$\beta^2+1$が4の倍数のときは$(i\beta)^2-1$が4の倍数になる． よって$\beta^2-1$が4の倍数としてよく，このとき$\epsilon_1-1$が4の倍数になる． $\epsilon_1$は単数なので$\epsilon_1=1$である．このとき等式(4.5)は単数$\epsilon_2$をもちいて

$$\beta^2=y^4+\epsilon_2\lambda^{4(k-1)}z^4$$ (4.5)

となる． ところがこの等式は等式(4.3)の$k$を$k-1$に代えただけである． つまり等式(4.3)をみたす $x,\ \beta,\ \gamma$が$k$のとき存在すれば$k-1$でも存在する．

よって帰納的に$k=1$でも成立するが，これは$k>1$という先に示した結果と矛盾する． よって等式(4.3)をみたす $x,\ \beta,\ \gamma$は存在しない． □

この定理からただちに次の結論が導かれる．

系 48.1

$$x^4+y^4=z^4$$

をみたすガウス整数は存在しない． ■

証明      もしあれば $x^4+y^4=(z^2)^2$より$x^4+y^4=Z^2$にガウス整数の解が存在することになるからである． □

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