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演習問題

練習問題 48 (解答48)  

次の数を平方数の和に書き表せ．

$$5,\ 13,\ 65,\ 5^2,\ 50,\ 13^2$$

練習問題 49 (解答49)  

$$x^2+y^2=z^2,\ (x,\ y)=1$$

の正の整数解は，

$$x,\ y=m^2-n^2,\ 2nm,\ z=m^2+n^2$$

ただし， $(m,\ n)=1,\ m>n>0$ で $m$ と $n$ は偶数と奇数．

練習問題 50 (解答50)  

有理整数$p,\ q,\ r$を係数にもつ3次方程式 $x^3+px^2+qx+r=0$が， 有理数$u,\ v$によって$\alpha=u+vi$と表される虚数解をもつなら， $\alpha$はガウス整数であることを示せ．

関連入試問題

入試問題 33 (解答33)   ［96大教大］

(1)

$F(x)=2x^3+5x^2-3x+7,\ G(x)=x-3$ とする．このとき， $F(x)=G(x)Q(x)+r$ を満たす $x$ の整式 $Q(x)$ と実数 $r$ を求めよ．

(2)

$F(x)$ を $x$ の１次以上の整式， $G(x)=x-a$ ， ただし $a$ は実数とする．このとき，

(i)

$F(x)=G(x)Q_1(x)+F_1(x)$ を満たす $x$ の整式 $Q_1(x), \ F_1(x),$ ただし $F_1(x)$ の次数は $F(x)$ の次数より小さい，が存在することを示せ．

(ii)

$F(x)=G(x)Q(x)+r$ を満たす $x$ の整式 $Q(x)$ と実数 $r$ が存在する ことを $F(x)$ の次数に関する数学的帰納法を使って証明せよ．

(3)

$F(x)$ を $x$ の整式とする．実数 $a$ に対して， $F(a)=0$ となるなら $F(x)=(x-a)Q(x)$ を満たす $x$ の整式 $Q(x)$ が存在することを示せ．

(4)

$F(x)$ を $x$ の $n$ 次式とする．このとき，方程式 $F(x)=0$ の 相異なる実数解は $n$ 個以下であることを示せ．

入試問題 34   解答34     ［90京都教育大］

まず整式に関する用語の確認をする．

• 整式$f(x)$が整式$g(x)$の約数であるとは$f(x)p(x)=g(x)$ を満たす整式$p(x)$が存在することをいう．
• 整式$d(x)$が2つの整式$f(x)$，$g(x)$の公約数であるとは， $d(x)$が$f(x)$の約数であり，かつ，$g(x)$の約数でもあることをいう．
• 整式$d(x)$が2つの整式$f(x)$，$g(x)$の最大公約数であるとは， $d(x)$が$f(x)$，$g(x)$の公約数の中で次数が最大のものであることをいう． ($f(x)=g(x)=0$の場合は除く)．

これらの用語に注意して,次の問に答えよ．

(1)

整式$f(x)$は$f(x)$の約数であることを示せ．

(2)

0と異なる整式$f(x)$が整式$g(x)$の約数であれば， $f(x)$は$f(x)$，$g(x)$の最大公約数であることを示せ．

(3)

$f(x)$が0とは異なる整式で， 整式$g(x)$を$f(x)$で割った余りが$r(x)$であるとする． いま，整式$d(x)$が$r(x),\ f(x)$の最大公約数であるとすれば， $d(x)$は$f(x)$，$g(x)$の最大公約数でもあることを示せ．

入試問題 35   解答35 ［02中部大改題］

$f(x)=x-1,\ g(x)=(x+1)^3$であるとき，

$$p(x)f(x)+q(x)g(x)=1$$

を満たす整式$p(x),\ q(x)$の組のなかで，$p(x)$の次数が最小である組， および$p(x)$の最高次数の係数が1であるなかで次数が最小の組，をそれぞれ求めよ．

入試問題 36   解答36     ［06京大文理系前期1番3番］

$Q(x)$を2次式とする．整式$P(x)$は$Q(x)$では割り切れないが， $\{P(x)\}^2$は$Q(x)$で割り切れるという． このとき2次方程式$Q(x)=0$は重解を持つことを示せ．

入試問題 37   解答37     ［06京大文理系後期1番3番］

1次式$A(x)$，$B(x)$，$C(x)$に対して $\{A(x)\}^2+\{B(x)\}^2=\{C(x)\}^2$が成り立つとする． このとき$A(x)$と$B(x)$はともに$C(x)$の定数倍であることを示せ．

入試問題 38   解答38     ［00お茶の水女子大］

$f(x)$ を $x$ についての整数係数の整式とし， $g(y)$ を $y$ についての整数係数の整式とする． $xy=1$ のとき常に $f(x)g(y)=1$ となるような $f(x),\ g(y)$ をすべて求めよ．

入試問題 39 (解答39)        ［00京大理系前期］

$p$ を素数， $a$ ， $b$ を互いに素な正の整数とするとき, $(a+bi)^p$は実数ではないことを示せ．ただし $i$ は虚数単位を表す．

入試問題 40 (解答40)        ［07一橋前期01番］

$m$を整数とし， $f(x)=x^3+8x^2+mx+60$とする．

(1)

整数$a$と0ではない整数$b$で， $f(a+bi)=0$を満たすものが存在するような$m$をすべて求めよ． ただし，$i$は虚数単位である．

(2)

(1)で求めたすべての$m$に対して，方程式$f(x)=0$を解け．

入試問題 41 (解答41)        ［02慶応医］

設問(1)から(5)に答えなさい．

4で割ると余りが1になるような素数$p,\ p=4k+1$，を1つとる．これに対し，等式

$$(\mathrm{Q}) \quad \quad \quad \quad a^2+4bc=p$$

を満たす自然数3つの組$(a,\ b,\ c)$の全体を考える．両辺の絶対値を比べればわかるよう に，このような自然数3つの組の可能性は有限通りしかありえない．

いま等式(Q)を満たす自然数3つの組$(a,\ b,\ c)$から新しく自然数3つの組を作る手続きを 次の(i)，(ii)，(iii)により定める:

(i)

$a<b-c$ならば $(a+2c,\ c,\ b-a-c)$を作る;

(ii)

$b-c<a<2b$ならば $(2b-a,\ b,\ a-b+c)$を作る;

(iii)

$a>2b$ならば $(a-2b,\ a-b+c,\ b)$を作る．

(1)

$(a,\ b,\ c)$が等式(Q)を満たす自然数の組でさらに(i)の条件$a<b-c$を満 たすとする．このとき，上の(i)より得られる $(a+2c,\ c,\ b-a-c)$もまた等式 (Q)を満たすことを示しなさい．

(2)

等式(Q)を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$は$a=b-c$や$a=2b$を満たすことは ないことを示しなさい．

(3)

等式(Q)を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$の中には，上の手続きを施しても変化し ないという性質を持つものが存在する．$p=4k+1$と表すとき，この性質を持つ $(a,\ b,\ c)$を $k$ を用いて具体的に与え，かっそれがただ1組しか存在しないことを 示しなさい．

(4)

等式(Q)を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$に対して上の手続きを2回繰返して施す とどうなるか，結論を簡潔に説明しなさい．また，この観察をもとに等式(Q)を満たす自 然数3つの組の全体の個数が偶数か奇数かを決定し，そう判断できる理由を述べなさい． ただし，等式(Q)を満たす自然数3つの組から上の手続きにより新しく作られた自然数3つの 組は(i)，(ii)，(iii)のどの場合でも再び等式(Q)を満たすという事実については ここでは証明なしに用いてよい．

(5)

素数$p=4k+1$をある2っの自然数 $a,\ b$ により

$$p=a^2+(2b)^2$$

と表すことができることを示しなさい．

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