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二次無理数の連分数展開

整数係数の二次方程式，$px^2+qx+r=0$でその判別式が正かつ平方数でないとする．このときこの方程式の根を二次（実）無理数と呼ぶ． 逆に二次無理数が満たす整係数の二次方程式を，その二次無理数の二次方程式という．

二次無理数の理論は，あまり他の知識を必要とせず理解できる大変美しい理論であるが，殘念ながら高校では習わない．ぜひ意慾的な高校生が，実際に計算をしながら学び理解してほしい．

補題 9
     二次無理数の二次方程式は，定数倍を除いて一意である． ■

証明      なぜなら，$\omega$が$px^2+qx+r=0$解であるとして， さらに $p'x^2+q'x+r'=0$の解でもあるとする． $u$を有理数とし，$p'=pu$とする．

$$\left\{ \begin{array}{l} p\omega^2+q\omega+r=0\\ pu\omega^2+q'\omega+r'=0 \end{array} \right.$$

となる．第一式に$u$を乗じて第二式を引くことにより， $(q'-uq) \omega +(r'-ru)=0$となる． $\omega$が無理数で各係数が有理数なので $q'=qu\ ,\ r'=ru$である． つまり二つの二次方程式は，定数倍を除いて一意である． □

二次無理数$\omega$に対し， $\omega$が属する二次方程式のもう一つの根を$\omega$の共役根と呼ぶ．

定理 60 (二次無理数の展開と判別式)

(1)

二次実無理数に対等な無理数は，再び二次無理数である．

(2)

対等な二次無理数の二次方程式の判別式は等しい． ■

証明

(1)

$$\omega_1=\dfrac{a \omega_0 +b}{c \omega_0 +d}$$

と置く． $\omega_1$が$px^2+qx+r=0$をみたすとする． この二次方程式の判別式を$D$とする．$D>0$で$D$は平方数ではない．

$$p \left( \dfrac{a \omega_0 +b}{c \omega_0 +d} \right)^2 +q \left( \dfrac{a \omega_0 +b}{c \omega_0 +d} \right)+r=0$$

分母をはらってまとめると，

$$\begin{eqnarray*} &&(pa^2+qac+rc^2)\omega_0^2\\ &&\quad +\{2pab+q(ad+bc)+2rcd \}\omega_0+(pb^2+qbd+rd^2)=0 \end{eqnarray*}$$

$D$が平方数ではないので，整数$a,\ b,\ c,\ d$に対して $pt^2+qt+r=0,\ p+qt+rt^2=0$はいずれも有理数解をもたないので， $pa^2+qac+rc^2\ne 0,\ pb^2+qbd+rd^2\ne 0$である． ゆえに，$\omega_0$は整数を係数とする二次方程式の解となり， 二次無理数である．

(2)

この二次方程式の判別式を$D'$とする． さらに

$$\begin{eqnarray*} D'&=& \{ 2pab+q(ad+bc) +2rcd \}^2 \\ &&\,\,\, -4(pa^2+qac... ...rd^2) \\ &=& q^2(ad-bc)^2-4pr(ad-bc)^2 \\ &=& q^2-4pr=D \end{eqnarray*}$$

確かに二つの二次方程式の判別式は等しい．□

ここで，最も重要な論点となる定理を証明しよう． それは 二次実無理数の連分数展開は循環する ということである． 既出の例5.2.1のように，$\sqrt{2}$は第二項目から循環し，循環の長さは1である．このような循環性がすべての実二次無理数で成り立つのである．

その証明のための次の事実に注意しよう．

補題 10
     整数係数の二次方程式$px^2+qx+r=0$で，判別式が$D$（一定）であって， さらに$p,\ q,\ r$が互いに素かつ$pr<0$であるようなものは，有限個しかない． ■

証明     なぜなら，$4pr=q^2-D<0$より$q^2<D$．従って$q$は有限個である． 各$q$に対して，$4pr=q^2-D<0$を満たす整数の組$(p,r)$は， 右辺の因数分解を4と$p$と$r$に分ける場合の数なので有限個である． □

定理 61 (実二次無理数の基本性質)
     実二次無理数の連分数展開は循環する． すなわち，実二次無理数$\omega$の$k+1$までの展開を

$$\omega =\matrix{P_k}{P_{k-1}}{Q_k}{Q_{k-1}}\omega_{k+1}$$ (6.1)

とすると，$\omega_{k+1}$はあるところから一定の周期をもって同じ展開を繰りかえす． また，循環のはじまる番号$N$は $\omega_N>1,-1< \omega_N'<0$となる最初の番号である． ■

証明     いくつかの段階に分けて考えよう．正のもので証明できればよく，また共役なもののいずれかで証明できればよいので$\omega$を正な二次無理数で，$\omega '$をその共役無理数とし， $\omega > \omega '$とする．

(i)

$k$を十分大きくとれば $-1<\omega_k'<0$となることを示す．

等式6.1で$\omega_{k+1}$の共役をとると，

$$\omega' =\matrix{P_k}{P_{k-1}}{Q_k}{Q_{k-1}}\omega_{k+1}'$$

これから

$$\begin{eqnarray*} \omega_{k+1}' &=& \matrix{P_k}{P_{k-1}}{Q_k}{Q_{k-1}}^{-1... ...a '- \dfrac{P_{k-1}} {Q_{k-1}}}{\omega '- \dfrac{P_k}{Q_k}} \end{eqnarray*}$$

ところが，

$$\lim_{k \to \infty}\dfrac{P_{k-1}}{Q_{k-1}} =\omega ,\,\, \lim_{k \to \infty}\dfrac{P_k}{Q_k}=\omega$$

であるから十分大きな$k$に対して，

$$\omega '- \dfrac{P_{k-1}}{Q_{k-1}}<0,\,\,\omega '- \dfrac{P_k}{Q_k}<0$$

したがって， $\omega_{k+1}'<0$となる．

他方$\omega_{k+1}$は$\omega_k$から整数部分を除いた小数部分の逆数なので $\omega_{k+1}>1$である． さらに $\omega_{k+1}'<0$とすれば

$$\omega_{k+1}'=\matrix{q_{k+1}}{1}{1}{0} \omega_{k+2}'$$

であるが，逆に解いて，

$$\dfrac{1}{\omega_{k+1}'- q_{k+1}} =\omega_{k+2}'$$

である．このとき，$q_{k+1} \ge 1$より $-1<\omega_{k+2}'<0$である．

1.

十分大きい$k$をとり $-1<\omega_k'<0$となっているとする．

$$\omega =\matrix{P_k}{P_{k-1}}{Q_k}{Q_{k-1}}\omega_{k+1}$$

とすれば， $\omega_{k+1},\omega_{k+2},\omega_{k+3},\cdots$ はすべて同一の判別式の二次方程式の解であり，共役無理数が負である．

これら無理数の二次方程式は補題9より， 係数の定数倍を除いて一意なので，係数は互いに素としてよい． これらの二次方程式は，二つの根の積が負で判別式が同一なので， 補題10の条件を満たす．補題10より $\omega_{k+1},\omega_{k+2},\omega_{k+3},\cdots$の中に異なるものは有限個しかない．

ゆえにある番号$N$と$j$があって，

$$\omega_1,\omega_2,\cdots \omega_N,\omega_{N+1},\cdots ,\omega_{N+j} =\omega_N \cdots$$

となり，以下$N$と$N+j$の間の無理数が繰り返し現れる．

(ii)

このような$N,j$のうち$j$が最小となる$j$を$k$とする． すると $\omega_{N+j}= \omega_N$なる$j$はすべて$k$の倍数である．

それを示す． 一般に一列に並んでいる数学的な対象が$a$回毎にくり返しさらに$b$回毎にくり返せば$\vert a-b\vert$回毎にもくり返す． なぜなら$x$回目のその対象を$f(x)$と書けば， $f(x+a)=f(x),f(x+b)=f(x)$がつねに成立することから，

$$f(x-a+b)=f(x-a)=f(x-a+a)=f(x)$$

が成立するからである． このことに注意して，$j$を$k$で割った余りを$r$とおく．

$$j=km+r$$

である． ゆえに$r=j-km$でもくり返すので$k$の最小性により， $r=0$．つまり$k$を周期として循環する．

2.

循環のはじまる$N$は $\omega_N>1,-1< \omega_N'<0$となる最小の番号であることを示す．

$N$を循環のはじまる番号とし，番号$M$は$N\le M$とする． 番号$M$は循環部分にあるので， つまり $\omega_M=\omega_{M+j}$なる$\omega_{M+j}$が存在する． また， $\omega_M>1,-1< \omega_M'<0$も成立している．

さて，

$$\begin{eqnarray*} \omega_{M-1}&=&\matrix{q_{M-1}}{1}{1}{0}\omega_M\\ \omega... ...{1}{1}{0}\omega_{M+j} =\matrix{q_{M+j-1}}{1}{1}{0}\omega_{M} \end{eqnarray*}$$

したがって $\omega_{M-1}-\omega_{M+j-1}=q_{M-1}-q_{M+j-1}$． ここで$\omega_{M-1}$と $\omega_{M+j-1}$は同一の判別式に属し，差が整数なので， $\omega_{M-1}=\dfrac{p+\sqrt{D}}{r}\, ,\, \omega_{M+j-1}=\dfrac{t+\sqrt{D}}{r}$， とおけ，

$$\omega_{M-1}-\omega_{M+j-1}= \dfrac{p}{r}-\dfrac{t}{r} = \omega_{M-1}'-\omega_{M+j-1}'$$

すでに見たようにこの場合 $\vert\omega_{M-1}'-\omega_{M+j-1}'\vert<1$より $\vert q_{M-1}-q_{M+j-1}\vert<1$となって $q_{M-1}-q_{M+j-1}=0$． すなわち

$$\omega_{M-1}=\omega_{M+j-1}$$

この操作は $-1< \omega_M<0$であるかぎり繰り返せ，番号が１ずつ減じる．

逆に十分大きい$k$では $-1<\omega_k'<0$となるので， 循環する部分は $-1<\omega_k'<0$を満たしていなければならない．

よって，循環のはじまる 番号$N$は $\omega_N>1,-1< \omega_N'<0$となる最小の番号である． □

$k$のことを二次無理数の連分数展開の周期と呼ぶ．

例 6.2.1        $\omega_1=-3+\sqrt{29}$のとき．$D=29$である．

$$\begin{array}{lll} \omega&二次方程式&\omega'\\ \... ...}{\sqrt{29}-5}=\dfrac{\sqrt{29}+5}{4}=\omega_2& \end{array}$$

$\omega_2$の共役が条件を満たす最初の共役無理数である．実際 $\omega_2=\omega_7$ となり，ここから循環が始まっている． そして循環周期は$k=5$である．

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