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同型定理と演算

自然数の和・積

この自然数の集合には，和と積という演算が定義される．

定理 68 (自然数の和・積)
$x,\ y\in N$ に対して， $x+y$ を次のように帰納的に定める．

1. $y=1$ なら $x+y=x+1$とする．
2. $y>1$のとき．$x+(y-1)$まで定まったとすると
   
   $$x+y=(x+(y-1))+1$$
   
   
   とする．

このとき $x+y$ がただ一通りに決まり次の性質を持つ．

(i)

結合法則： $(x+y)+z=x+(y+z)$．

(ii)

交換法則：$x+y=y+x$．

(iii)

$x<y$なら$x+z<y+z$．

$x\cdot y$ を次のように帰納的に定める．

1. $y=1$ なら $x\cdot y=x$．
2. $y>1$のとき．$x\cdot (y-1)$まで定まったとすると
   
   $$x\cdot y=(x\cdot (y-1))+x$$
   
   
   とする．

このとき $x\cdot y$ がただ一通りに決まり次の性質を持つ．

(i)

結合法則： $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$．

(ii)

交換法則： $x\cdot y=y\cdot x$．

(iii)

$x<y$なら $x\cdot z<y\cdot z$．

(iv)

分配法則： $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$．

(v)

$a<b$である任意の自然数に対し， $b<na$ となる自然数$n$が存在する．■

証明      これらの証明は，難しくはないが煩雑ではある． 例えば和の結合法則： $(x+y)+z=x+(y+z)$を証明してみよう．

数学的帰納法にもとづく和の定義より

$$x+y-1=x+(y-1)$$

である．そこで $(x+y)+z=x+(y+z)$を$z$に関する数学的帰納法で示す．

$z=1$のとき． $(x+y)+1=x+(y+1)$は$x$と$y+1$の和の定義より成立する．

$z-1$で成立するとする．

$$\begin{array}{lll} (x+y)+z&=\{(x+y)+z-1\}+1&：\ 和の... ... 和の定義 \\ &=x+(y+z)&：\ 和の定義 \end{array}$$

$z$でも成立し，すべての$z$で成立する．

以下順次自然数と自然数の和・積が厳密に定義される．

また

$$a+x=b+x\quad \Rightarrow \quad a=b,\ a\cdot x=b\cdot x\quad \Rightarrow \quad a=b$$

なども成立する． これらの証明は省略する．

大小と差

$x,\ y\in \mathbb{N}$にに対して，

$$x=y+z\quad z\in \mathbb{N}$$

のとき，$x>y$と定める．

$x>1$のとき，

$$y+1=x$$

となる$y$がある．この$y$を$x-1$と記し，$x$の直前の要素という． 以下帰納的に $x-j\ (j=1,\ 2,\ \cdots,\ x-1)$が定まる．これらを差という．

一意性

自然数の公理を満たすものがいくつもあっては困る． しかし実は一つしかないことが示される．

定理 69
自然数の集合$\mathbb{N}$ はすべて同型である． つまり二つの自然数の集合 $\mathbb{N}$ と $\mathbb{N}'$ があるとする． $\mathbb{N}$と $\mathbb{N}'$ のあいだの一対一対応 $f(x)$ で

1. $f(1)=1$
2. $f(x+1)=f(x)+1$

となるものがある．■

証明      $\mathbb{N}_n=\{1,\ 2,\ \cdots ,\ n\}$の $\mathbb{N}'$ への写像$f_n(x)$ を $n$についての数学的帰納法で定める．

(i)

$n=1$ のとき $f_1(1)=1$ とする．

(ii)

$f_k(x)$ が定まったとき

$$f_{k+1}(x)=f_k(x) \ ( x=1,\ 2,\ \cdots ,\ k),\ f_{k+1}(k+1)=f_k(k)+1$$

とする．

この $f_n(x)\ (n=1,\ 2,\ 3，\cdots)$ を用いて

$$f(x)=f_x(x)\ \ x \in \mathbb{N}$$

と定める．作り方から $f(\mathbb{N})$ は $\mathbb{N}'$ における $1$ を含む昇列である．

$$∴ \quad f(\mathbb{N})=\mathbb{N}'$$

このとき

$$f(x+1)=f_{x+1}(x+1)=f_x(x)+1=f(x)+1$$

は成立する．

$i,\ j>1$で$f(i)=f(j)$となるとする．

$$f(i-1)+1=f(j-1)+1$$

より$f(i-1)=f(j-1)$．ここに$i-1,\ j-1$は$i$と$j$の直前の要素である． もし$i>j$ならこれを繰りかえして $f(i-j+1)=f(1)=1$． $f$の作り方から$i-j+1=1$．よって$i=j$となり，これが一対一写像であることもわかる． □
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