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ピタゴラス数の一般形

$$x^2+y^2=z^2$$

を満たす正の整数の組$(x,\ y,\ z)$をピタゴラス数という．

$x,\ y,\ z$の最大公約数が1である組の一般形を求めてみよう．

$x,\ y$がともに偶数なら$z$も偶数になって， 最大公約数が1でなくなるので，$x$と$y$のいずれかは奇数である．

$y$ を偶数とする. $x$ と $z$ は奇数になる.

$$y^2=(z-x)(z+x)$$

であるが， $x$ と $z$ は奇数なので， $z-x,\ z+x$ はともに偶数である. つまり

$$\left(\dfrac{y}{2} \right)^2=\dfrac{z+x}{2}\cdot\dfrac{z-x}{2} \quad \cdots\maru{1}$$

で，

$$\dfrac{y}{2},\ \dfrac{z+x}{2},\ \dfrac{z-x}{2}$$

がすべて整数になる.

さらに，

$$\dfrac{z+x}{2},\ \dfrac{z-x}{2}$$

がたがいに素になる．なぜならもしこの2数が公約数 $d$ をもてば,

$$z+x=2du,\ z-x=2dv$$

となり,

$$z=d(u+v),\ x=d(u-v) ,\ y^2=4duv$$

となって$x,\ y,\ z$の最大公約数が1であることに反する.

$$\dfrac{z+x}{2},\ \dfrac{z-x}{2}$$

は互いに素で，かつその積が平方数である．

$\maru{1}$の左辺を素因数分解すると， 各素因数は偶数個現れる． $\dfrac{z+x}{2},\ \dfrac{z-x}{2}$が互いに素なので， これらの素因数はそれぞれ $\dfrac{z+x}{2},\ \dfrac{z-x}{2}$のいずれか一方にのみ現れ， その結果 $\dfrac{z+x}{2},\ \dfrac{z-x}{2}$の素因数分解で 各素因数はすべて偶数個現れる．

よって $\dfrac{z+x}{2},\ \dfrac{z-x}{2}$はいずれも平方数である．

$$z+x=2a^2,\ z-x=2b^2$$

とおく．これから

$$x=a^2-b^2,\ y=2ab,\ z=a^2+b^2$$

となる．

最大公約数が1であるための $a$ と $b$ の条件を求める．

$a$ と $b$ はたがいに素で $a>b$ ，さらに $x,\ z$ が奇数なので $a$ と $b$ の偶数奇数が異なることが， $(x,\ y,\ z)$ の最大公約数が1であるために必要である.

よって，最大公約数が1の解は

$$\begin{array}{l} (x,\ y,\ z) =(a^2-b^2,\ 2ab,\ a^2+b^2... ...(a,\ b)=1,\ a-b は奇数 \end{array} \quad \dots\maru{2}$$

と表せる.

逆に条件$\maru{2}$を満たす $a$ と $b$ を用いて上のいずれかで 表される $(x,\ y,\ z)$ は最大公約数が1の解である．

それを示す． $\maru{2}$のように定まる$x,\ y,\ z$がピタゴラス数であることは明か．

もしこの $(x,\ y,\ z)$ に共通素因数 $p$ があるとする.

すると $z \pm x$ か $z \pm y$ を考えると $p$ は

$$2a^2,\ 2b^2$$

の公約数である. $a$ と $b$ はたがいに素なので $p=2$ である.

ところが $p=2$ が $a^2-b^2$ 約数なので $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ が偶数.

これは条件 $a-b$ は奇数 に反する. よって確かに$\maru{2}$で定まる$(x,\ y,\ z)$は， 最大公約数が1のピタゴラス数である．

必要条件とあわせて，$\maru{2}$で表される$x,\ y,\ z$が最大公約数が1の ピタゴラス数のすべてである．