next up previous 次: 一次不定方程式 上: 素数 前: ピタゴラス数の一般形

演習問題

問題 7   解答7     [00上智大]

\framebox{あ}から \framebox{え}には下の選択肢(a),(b),(c),(d)から正しいものを選んで入れよ.

  1. $n$ を整数とする.$n$ が6または15で割り切れることは, $n$ が30で割り切れるための \framebox{あ} $1 \le n \le 300$ をみたし,6または15で割り切れる $n$ は全部で \framebox{ハ}個ある.
  2. $m,\ n$ を整数とする. $m+n,\ mn$ がともに12で割り切れることは, $m,\ n$ がともに6で割り切れるための \framebox{い} $1 \le m \le n \le 100$ をみたし, $m+n,\ mn$ がともに12で割り切れる $m,\ n$ の組は全部で \framebox{ヒ}個ある.
  3. $l,\ m,\ n$ を整数とする. $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて5で割り切れることは,$l,\ m,\ n$ がすべて5で割り切れるための \framebox{う}
  4. $l,\ m,\ n$ を整数とする. $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて30で割り切れることは, $l,\ m,\ n$ がすべて30で割り切れるための \framebox{え} $1\le l \le m \le n \le 100$ をみたし, $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて30で割り切れる $l,\ m,\ n$ の組は全部で \framebox{フ}個ある.
選択肢:
 (a)必要十分条件である.
 (b)必要条件であるが十分条件ではない.
 (c)十分条件であるが必要条件ではない.
 (d)必要条件でも十分条件でもない.
問題 8   解答8     [99京大文後期]

自然数$a\ ,\ b\ ,\ c$について,等式$a^2+b^2=c^2$が成り立ち, かつ$a,\ b$は互いに素とする.このとき,次のことを証明せよ.

(1)
$a$が奇数ならば,$b$は偶数であり,したがって$c$は奇数である.
(2)
$a$が奇数のとき,
\begin{displaymath}
a+c=2d^2
\end{displaymath}

となる自然数$d$が存在する.

(注)本問はピタゴラス数の一般形を求める定理の中の一部であるが, 入試問題として紹介する.

問題 9   解答9     [06東京工大]

自然数$a\ ,\ b\ ,\ c$

\begin{displaymath}
3a=b^3,\ 5a=c^2
\end{displaymath}

を満たし,$d^6$$a$を割り切るような自然数$d$$d=1$に限るとする.
  1. $a$は3と5で割り切れることを示せ.
  2. $a$の素因数は3と5以外にないことを示せ.
  3. $a$を求めよ.
問題 10   解答10     [09千葉大]
(1)
5以上の素数は,ある自然数$n$を用いて$6n+1$または$6n-1$の形で表されることを示せ.
(2)
$N$を自然数とする.$6N-1$は, $6n-1\ (n\ は自然数)$の形で表される素数を約数にもつことを示せ.
(3)
$6n-1\ (n\ は自然数)$の形で表される素数は無限に多く存在することを示せ.


Aozora
2015-03-02