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3章

解答 7   問題7    

1. $n$ が30で割り切れれば，6または15で割り切れるが，逆は言えない．よって，(b)
   6で割り切れるものが，50個．
   15で割り切れるものが，20個．
   6かつ15で割り切れる，つまり，30で割りきれるものが10個．
   ∴　 $50+20-10=60（個）$
2. $m+n=12k,\ mn=12l$ なら， $mn=m(12k-m)=12l$ ．つまり $m^2=12(mk-l)$ ． $m^2$ が12の倍数なので， $m$ は素因数2と3を持つ．つまり6の倍数．このとき $n=12-m$ から $n$ も6の倍数．
   逆に $m=6,\ n=12$とすると $m+n=18$ は12で割り切れない．よって，(c)．
   $m=6k,\ n=6l$とかける．さらに $m+n=6(k+l),\ mn=36kl$ なので， $m+n,\ mn$ が12の倍数になるためには $k$ と $l$ の偶数と奇数が一致すればよい．
   　 $k=1$ に対して $l=1,\ 3,\ \cdots ,\ 15$ の8個．
   　 $k=2$ に対して $l=2,\ 4,\ \cdots ,\ 16$ の8個．
   　 $k=3$ に対して $l=3,\ \cdots ,\ 15$ の7個．
   　 $k=4$ に対して $l=4,\ \cdots ,\ 16$ の7個．
   　　 … …
   　 $k=15$ に対して $15$ の1個．
   　 $k=16$ に対して $16$ の1個．
   
   
   $$∴ \quad 2(8+7+\cdots+1)=72（個）$$
   
   
3. $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて5で割り切れるとする． $lmn$ が5の倍数なので少なくともひとつ，例えば $l$ は5の倍数．するとその結果， $m+n=-l,\ mn=-l(m+n)$ が5の倍数．
   $m,\ n$ の少なくとも一つは5の倍数． $m$ が5の倍数なら $n=-m$ も 5の倍数．条件は $l,\ m,\ n$ で対称なので， $l,\ m,\ n$ は5の倍数．
   逆は明らか．よって，(a).
   
4. (3)より $l+m+n,\ lm+mn+nl\ と\ lmn$ が5で割れることは同値である．$30=5 \cdot 6$で5と6は互いに素なので，6で割り切れることについて調べる．
   $l+m+n,\ lm+mn+nl,\ lmn$ がすべて6で割り切れるとする．
   $lmn$ が6の倍数なので，例えば $l$ は2の倍数である．このとき(3)と同様にして $m+n,\ mn$ ともに2の倍数．よって， $l,\ m,\ n$ はすべて2の倍数．
   同様に $l$ が3の倍数とすると $m+n,\ mn$ ともに3の倍数．よって， $l,\ m,\ n$ はすべて3の倍数．
   よって $l,\ m,\ n$ は6の倍数．よって $l,\ m,\ n$ は30の倍数．逆は明らか．∴　(a)．
   30の倍数の組は
   $$\begin{eqnarray*} (l,\ m,\ n)&=&(30,\ 30,\ 30),\ (30,\ 30,\ 60),\ (30,\ 30,\ 9... ...,\ 60),\ (60,\ 60,\ 90),\ (60,\ 90,\ 90)\\ &&(90,\ 90,\ 90) \end{eqnarray*}$$
   
   ∴　10個

解答 8   問題8    

(1)

$a$が奇数のとき，$b$も奇数と仮定する． このとき$c$は偶数である．

$$a=2k+1，b=2l+1,\ c=2m$$

とおく．

$$a^2+b^2=4(k^2+k+l^2+l)+2,\ c^2=4m^2$$

となり，4で割った余りが異なる．つまり$a^2+b^2=c^2$が成り立ち得ない．

ゆえに$b$は偶数であり，$c$は奇数である．

(2)

$a^2+b^2=c^2$より $b^2=(c-a)(c+a)$となるが(1)から$c-a,\ c+a$ はともに偶数である．

$$\left(\dfrac{b}{2} \right)^2=\dfrac{c-a}{2}\cdot\dfrac{c+a}{2}$$

ここで $\dfrac{c+a}{2}>\dfrac{c-a}{2}\ge 1$なので， $p$を$\dfrac{b}{2}$の素因数の一つとすると$p>1$．

$\dfrac{c-a}{2}$と $\dfrac{c+a}{2}$がともに$p$を因数に持てば

$$\dfrac{c-a}{2}=kp,\ \dfrac{c+a}{2}=lp$$

とおくと

$$c=(k+l)p,\ a=(l-k)p$$

となり$p$が$a$と$b$の公約数となる．$a$と$b$は互いに素で， $p>1$であるから，$p$は $\dfrac{c-a}{2}$と $\dfrac{c+a}{2}$のいずれか一方 のみの素因数となる．

$\left(\dfrac{b}{2} \right)^2$の最高べき指数は偶数であるから $\dfrac{c-a}{2}$と $\dfrac{c+a}{2}$のいずれもが平方数となる．

つまり

$$\dfrac{a+c}{2}=d^2$$

となる自然数$d$が存在する．

解答 9   問題9    

1. $b^3$は3の倍数である． 3は素数なので$b$が3の倍数である． $b=3b'$とおく．$3a=b^3$より $3a=(3b')^3=27{b'}^3$． これから$a=9{b'}^3$．よって$a$は3の倍数である．

   同様に$c$は5の倍数なので，$c=5c'$とおく． $5a=c^2$より$5a={5c'}^2$より$a=5{c'}^2$． よって$a$は5の倍数である．

2. $a$の素因数で3と5以外のものがあるとし， それを$p$とし，$a=pa'$とおく．
   
   $$p(3a')=b^3,\ p(5a')=c^2$$
   
   より(1)と同様に$b$も$c$も$p$の倍数である． $b=p^lb'',\ c=p^mc''$とおく． ただし$b'',\ c''$は$p$と互いに素である．
   
   $$3a=p^{3l}{b''}^3,\ 5a=p^{2m}{c''}^2$$
   
   $p$は3, 5と互いに素なので， $a$の素因数分解における素因数$p$は， 第1式からは3の倍数個あり，第2式からは2の倍数個ある． したがって，$a$を因数分解すると素因数$p$は6の倍数個ある． ところがこれは， 条件「$d^6$が$a$を割り切るような自然数$d$は$d=1$に限る」 と矛盾する．よって$a$の素因数は3と5以外にないことが示された．
3. $a=3^e5^f$とおく．条件から $1\le e,\ f \le 5$である．
   
   $$3a=3^{e+1}5^f=b^3,\ 5a=3^e5^{f+1}=c^2$$
   
   これから$e+1,\ f$は3の倍数，$e,\ f+1$は2の倍数である． $1\le e,\ f \le 5$の範囲でこれを満たすのは $e=2,\ f=3$．したがって $a=3^2\cdot5^3=1125$．

解答 10   問題10    

(1)

5以上の素数$p$は奇数でありかつ3の倍数ではない． 従って6で割った余りは1か5である． $p$は5以上なので，ある自然数$n$を用いて $6n+1$または$6n-1$の形で表される．

(2)

$N$が自然数なので$6N-1\ge 5$である． $6N-1$は3の倍数でないのでその因数分解に3は表れない． 従ってすべての素因数は$6n+1$または$6n-1$の形で表される． すべての素因数が$6n+1$型のものばかりと仮定し， それらを $6n_1+1,\ \cdots,\ 6n_l+1$とする．

一般に6で割って1余る二数$6u+1,\ 6v+1$の積は

$$(6u+1)(6v+1)=6(6uv+u+v)+1$$

より再び6で割って1余る． これを繰りかえし用いることにより， $6n_1+1,\ \cdots,\ 6n_l+1$のべきの積

$$(6n_1+1)^{e_1}\cdots(6n_l+1)^{e_l} \quad \cdots\maru{1}$$

も6で割って1余る数であることが分かる．

これは$6N-1$が6で割って$-1$つまり5余る数であることと矛盾する．

よって$6N-1$は， $6n-1\ (n\ は自然数)$の形で表される素数を約数にもつ．

(3)

$6n-1\ (n\ は自然数)$の形で表される素数の個数が有限で$k$個であるとする． それらを $p_1,\ \cdots,\ p_k$とする．

$$L=6p_1\cdots p_k-1$$

とおく． $L$は $p_1,\ \cdots,\ p_k$のいずれでも割っても$-1$余り， 割り切れない． 一方$L$は$6N-1$型なので(2)から$6n-1$型の素因数をもつ． その素数は $p_1,\ \cdots,\ p_k$のいずれとも異なる．

これは $6n-1\ (n\ は自然数)$の形で表される素数の個数が有限で$k$個であるという仮定と矛盾する．ゆえに有限個ではありえない．

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