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剰余系

整数の集合$\mathbb{Z}$において， $m$を法として互いに合同な整数で一つの部分集合を作り， 合同でないものは異なる部分集合になるようにして， $\mathbb{Z}$を互いに共通部分のない，いくつかの部分集合の和にすることができる．

なぜうまく分けられるのだろうか． 合同であるという関係は， 等号や図形の相似や合同などと同じく，次の三つの規律に従う．

$$\begin{array}{ll} 反射律:&a\equiv a\quad (\bmod.\ m)\\... ...d.\ m)\ ならば \ a\equiv c\quad (\bmod.\ m) \end{array}$$

これがあるので，互いに合同な数どうしを一組の部分集合にすることが出来る．

一つ一つの部分集合を$m$を法とする類，あるいは剰余類といい， 類に分けることを類別という． $m$を法とする類とは, $m$ を法として互いに合同なすべての数の集合である．いいかえると$m$で割ったとき余りの等しい整数の集合である．よって$m$ を法とする類別では$m$ 個の類に類別される．

各集合について，その集合に属する一つの要素 $a$ をとれば，同じ集合に属するすべての要素は，整数$k$を用いて$mk+a$と表される．

$m$ を法として $m$ 個に分けられた各集合から一つずつ代表を取り出したとき，それを 完全な代表の一組(または剰余系)という． 例えば

$$\begin{array}{l} \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6\}\\ \{0,\... ...,\ -1\}\\ \{7,\ -6,\ 9,\ -4,\ -10,\ -9,\ 13\} \end{array}$$

はいずれも7を法とする完全な代表の一組になっている．