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演習問題

問題 1   解答1

［10神戸文系3番］
$ a,\ b $ を自然数とする．以下の問に答えよ．
(1)　 $ ab $ が3の倍数であるとき， $ a $ または $ b $ は3の倍数であることを示せ．
(2)　 $ a+b $ と $ ab $ がともに3の倍数であるとき， $ a $ と $ b $ はともに3の倍数であることを示せ．
(3)　 $ a+b $ と $ a^2+b^2 $ がともに3の倍数であるとき， $ a $ と $ b $ はともに3の倍数であることを示せ．

［10神戸理系2番+(0)+(4)追加］
$ p $ を3以上の素数， $ a,\ b $ を自然数とする．以下の問に答えよ．
(0)　自然数 $ m,\ n $ に対し， $ mn $ が $ p $ の倍数ならば， $ m $ または $ n $ は $ p $ の倍数であることを示せ.
(1)　 $ a+b $ と $ ab $ がともに $ p $ の倍数であるとき， $ a $ と $ b $ はともに $ p $ の倍数であることを示せ．
(2)　 $ a+b $ と $ a^2+b^2 $ がともに $ p $ の倍数であるとき， $ a $ と $ b $ はともに $ p $ の倍数であることを示せ．
(3)　 $ a^2+b^2 $ と $ a^3+b^3 $ がともに $ p $ の倍数であるとき， $ a $ と $ b $ はともに $ p $ の倍数であることを示せ．
(4)　自然数 $ n $ に対して $ a^n+b^n $ と $ a^{n+1}+b^{n+1} $ がともに $ p $ の倍数であるとき， $ a $ と $ b $ はともに $ p $ の倍数であることを示せ．

問題 2   解答2     ［98一橋］

正の整数 $n$ を8で割った余りを $r(n)$ とおく．正の整数の組 $(a,\ b)$ は条件

$$0 < a-r(a)< \dfrac{4}{3}r(b),\,0 < b-r(b)< \dfrac{4}{3}r(ab)$$

をみたすとする．

(1)

$a-r(a)$ と $r(b)$ を求めよ．

(2)

$a$ と $b$ を求めよ．

問題 3   解答3     ［06大教大］

二つの自然数が互いに素であるとは，二つの自然数の最大公約数が1であることをいう． 三つの自然数が互いに素であるとは，三つの自然数からどの二つの自然数を選んでも， その選んだ二つの自然数が互いに素になることをいう． このとき，次の問に答えよ．

1. 任意の自然数$k$に対して，連続する二つの自然数$k$と$k+1$は，互いに素であることを示せ.
2. $n$を3以上の奇数とする．$n^2$は奇数であるから， ある自然数$k$があって，$n^2=2k+1$と表せる． このとき三つの自然数$n,\ k,\ k+1$は互いに素であることを示せ.
3. 三つの互いに素な自然数を三辺の長さとする直角三角形は無数にあることを示せ.

問題 4   解答4     ［98京大後期文系］

$a,\ b,\ p,\ q$ はすべて自然数で，

$$\dfrac{p^2+q^2}{a}= \dfrac{pq}{b}$$

を満たしている． $a$ と $b$ の最大公約数が1のとき以下の問いに答えよ．

(1)

$pq$ は $b$ で割り切れることを示せ．

(2)

$\sqrt{a+2b}$ は自然数であることを示せ．

問題 5   解答5     [09神戸大後期理系]

自然数$n$について，以下の問に答えよ．

1. 恒等式
   
   $$(n^2+1)-(n+2)(n-2)=5$$
   
   を利用して， $n+2$と$n^2+1$の公約数は1または5に限ることを示せ．
2. (1)を用いて，$n+2$と$n^2+1$が1以外に公約数をもつような 自然数$n$をすべて求めよ．
3. (1),(2)を参考にして，$2n+1$と$n^2+1$が1以外に公約数を もつような自然数$n$をすべて求めよ.

問題 6   解答6    ［98お茶の水女子大］

正の整数 $k,\ l\ (k \ge l)$ に対して 数列 $\{ a_n \},\ \{b_n\}$ を次のように定義する．
$a_1=k,\ b_1=l$
$n \ge 1$ について

$$a_{n+1}=\left\{ \begin{array}{ll} b_n&(b_n\ne0のと?... ...??とき)\\ b_n&(b_n=0のとき) \end{array} \right.$$

(1)

$k=1998,\ l=185$ について， $\{ a_n \},\ \{b_n\}$ を それぞれ第5項まで計算せよ．

(2)

任意の $k,\ l,\ n$ について $b_n\ge b_{n+1}$ (等号は $b_n=0$ のときに限る) を示せ．

(3)

任意の $k,\ l$ について $b_n=0$ となる $n$ が存在することを示せ．

(4)

$b_n=0$ となる $n$ について $a_n$ が $k$ と $l$ の最大公約数になっていることを示せ．

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