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方程式と恒等式

南海　 文字を用いて表された式を2つ用意し，それを等号でつないだものが「等式 equality」だ． 等式にはどのようなものがあるのか．

史織　 「方程式」と「恒等式」です

$$x^2-3x+2=0,\ \quad x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$$

第一の等式は特別な $x$ の値でしか成立しません．このような等式を「方程式」， その値を方程式の解，といいます．第二の等式は任意の $x$ で成立します．このような等式を 「恒等式」といいます．

史織　 方程式における文字を「未知数」という．恒等式における文字は定数とも考えてよいし 変数と考えてもよい．

$$x^2+2x+1=(x+1)^2$$

の $x$ は，定数でもあり，二つの関数 $f(x)=x^2+2x+1$ と $g(x)=(x+1)^2$ が同じ関数である という意味なら，変数とも考えられる．

史織　 変数が2つあるときはどうなるのですか．

南海　

$$x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$$

ならこれは明らかに恒等式だ．

では

$$x+y=1$$

は．

史織　 $(2,\ 3)$ では成立しませんから恒等式ではありません． $y=-x+1$ ですから， $y$ は $x$ の関数？

南海　 そのようにも言えるし， $y$ を定数とし $x$ の方程式とも見ることができる． この場合解は $x=-y+1$ ．

史織　 $xy$ 平面の直線とも言える．