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合成関数，逆関数

史織　 これまで考えたことをふまえ，合成関数，逆関数についても，正確につかみたいと思います．

南海　 集合${\mathsf A}$から集合${\mathsf B}$への関数 $y=f(x)$ と， 集合${\mathsf B}$から集合${\mathsf C}$への関数 $y=g(x)$ を考える．

この場合，集合${\mathsf B}$に対する変数を $y$ ， 集合${\mathsf C}$に対する変数を $z$ と定めておく方が考えやすいので， $g$ については $z=g(y)$ と表す．

このとき，$z=g(f(x))$ は${\mathsf A}$から${\mathsf C}$への関数となる． これを二つの関数 $f$ $g$ の合成関数といい， $g \circ f$ と表わす．つまり， $g \circ f(x)=g(f(x))$ である．

${\mathsf A}$から${\mathsf B}$への関数 $y=f(x)$ で $x_1,x_2 \in {\mathsf A}$ に対し， $x_1 \ne x_2$ ならば $f(x_1) \ne f(x_2)$ であるとき， $f$ を${\mathsf A}$ から${\mathsf B}$への１対１関数 という．

${\mathsf A}$から${\mathsf B}$への関数 $y=f(x)$ が１対１関数であるとする． このとき値域の要素 $y$ にたいして， $f(x)=y$ となる${\mathsf A}$の要素 $x$ がただ１つ対応する． これによって${\mathsf B}$の部分集合である値域から ${\mathsf A}$への関数が定まる．この関数を $f^{-1}$ と表わす．

定義より $f \circ f^{-1}(x)=x,\ f^{-1} \circ f(x)=x$ である．

現実的な逆関数の作り方は， $y=f(x)$ を逆に解いて，$x=g(y)$ を作ればよい．

独立変数を $x$ ，従属変数を $y$ とするのならこの $x$ と $y$ を入れ替えて， $y=g(x)$ としたものが，求める $f^{-1}(x)$ である．

演習 11       解答11

次の $f$ と $g$ に対して， $y=f(x)$ と $y=g(x)$ を 合成した関数 $f \circ g(x)$ を求めよ．

1. $f(x)=-x+2,\ g(x)=2x$
2. $f(x)=2x^2+x-3,\ g(x)=x-1$
3. $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1},\ g(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$
4. $f(x)=x^2-2px+q,\ g(x)=x+p$
5. $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},\ g(x)=\dfrac{px+q}{rx+s}$
6. $f(x)=\dfrac{2x}{x+4},\ g(x)=(3x-5)^2$
7. $f(x)=x^3-2x,\ g(x)=x+\dfrac{1}{x}$

演習 12       解答12

次の関数の逆関数 $f^{-1}(x)$ と定義域を求めよ．

1. $f(x)=3x+2$
2. $x \le 2 で定義されている y=-x^2+4x+2$ 〔神戸女子薬大〕
3. $f(x)=x^2-2x-1,\ (1 \le x)$
4. $f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$
5. $f(x)=ax+b$
6. $f(x)=x^2-2px+q,\ (p \le x)$
7. $f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d},\ (ad-bc \ne 0)$