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関数のグラフ

南海　 もうひとつの大きな飛躍はグラフの方法の発見だ．

グラフとは何かな．

史織　 関数 $y=f(x)$ に対して，次のような平面の点の集合を関数 $y=f(x)$ のグラフという．

$$\{(a,\ b)\ \vert\ b=f(a),\ a,\ b\ は実数\ \}$$

ではどうでしょうか．

南海　 その通り．ところでそうすると写像そのもののグラフも定義される．

集合${\mathsf A}$と集合${\mathsf B}$に対して，${\mathsf A}$と${\mathsf B}$の要素の組の集合

$$\{\ (a,\ b)\ \vert\ a \in{\mathsf A},\ b \in{\mathsf B}\ \}$$

を二つの集合${\mathsf A}$と${\mathsf B}$の「直積」といい ${\mathsf A}\times{\mathsf B}$と 表す．

史織　 そうか．平面というのは実数の集合と実数の集合の直積なんだ．

南海　 なかなかわかりがいい．集合${\mathsf A}$から集合${\mathsf B}$への写像$f$の グラフはどのように定義されるか．

史織　

$$\{(a,\ b)\ \vert\ b=f(a),\ (a,\ b)\in {\mathsf A}\times{\mathsf B} \}$$

ですね．

南海　 そうだ．

史織　 でもこれはなんか定義のための定義という気がします．

南海　 ところがそうでもない．「数列は自然数(あるいは非負整数)を定義域とする関数だ」 という立場に立つと，数列をグラフで考えることができる．