次： 平面上の直線(その二) 上： 平面上の直線 前： 二つのベクトルの平行条件

平面上の直線(その一)

まず第一の方法だ．平面上の二点 $\mathrm{A}(a_1,a_2),\ \mathrm{B}(b_1,b_2)$ がある． このとき直線 $\mathrm{AB}$の式をベクトルを用いて求めよ．

史織　 ベクトルですか．直線 $\mathrm{AB}$上の点を $\mathrm{P}(x,\ y)$ とおく．この $x$ と $y$ が 満たす式を求めればよいのですね．平行条件をうまく使えないかな．

二つのベクトル

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2),\ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=(x-a_1,\ y-a_2)$$

が平行なので，先の平行条件から

$$(b_2-a_2)(x-a_1)-(b_1-a_1)(y-a_2)=0 \quad \cdots\maru{1}$$

ということですか．

これを計算すると

$$(b_2-a_2)x-(b_1-a_1)y-(a_1b_2-a_2b_1)=0 \quad \cdots\maru{2}$$

となります．

南海　 そうだ．これは昔どおり傾きを求めてから導く直線の式と同じだろう．

$b_1\ne a_1,\ b_2\ne a_2$のとき $\maru{1}$はまた

$$\dfrac{x-a_1}{b_1-a_1}=\dfrac{y-a_2}{b_2-a_2}$$

ともかける．これはもちろん $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$から $t$ を消去した式でもある．

これをほんの少し違う形で導こう．

例 1.7.1   点 $\mathrm{P}(x,\ y)$が直線 $\mathrm{AB}$ 上の点であることは，

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}} =s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \quad \cdots\maru{3}$$

と表すとき， $s+t=1$ となることと同値である．これから直線 $\mathrm{AB}$ の式を作れ．

史織　 $\maru{3}$ 式を成分で書くと

$$\vecarray{x}{y}=s\vecarray{a_1}{a_2}+t\vecarray{b_1}{b_2} =\... ...s+b_1t}{a_2s+b_2t} =\matrix{a_1}{b_1}{a_2}{b_2}\vecarray{s}{t}$$

です．

これより

$$\matrix{a_1}{b_1}{a_2}{b_2}^{-1}\vecarray{x}{y}=\vecarray{s}{t}$$

つまり

$$\vecarray{s}{t}=\dfrac{1}{a_1b_2-a_2b_1}\matrix{b_2}{-b_1}{-... ...}{y} =\dfrac{1}{a_1b_2-a_2b_1}\vecarray{b_2x-b_1y}{-a_2x+a_1y}$$

したがって $s+t=1$ より

$$(b_2x-b_1y)+(-a_2x+a_1y)=a_1b_2-a_2b_1$$

あっ．先ほどの式 $\maru{2}$ と同じだ．

南海　 式が同じになるのは当然なのだが,なかなかおもしろい．行列を習っていない人は， $s$ と $t$ を 未知数として連立一次方程式を解いたと考えればよい．