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平面上の直線(その二)

さて第二の直線の作り方はベクトルの直交条件を使う．

$\overrightarrow{\mathrm{O}}$ でない二つのベクトル $\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2)$と $\overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2)$ が直交している条件は，二つのベクトルのなす角が $\pm 90^{\circ}$ ， つまり内積が0ということなので，

だ．

そこで，定点 $\mathrm{P}_0(x_0,\ y_0)$ をとおり，ベクトル $\overrightarrow{n}=(p,\ q)$ に直交する直線 $l$ の方程式を求めよ．

史織　 これは教科書にも載っています．直線上の任意の点 $\mathrm{P}(x,\ y)$ をとる．

二つのベクトル $\overrightarrow{n}=(p,\ q)$ と $\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}}$ が直交するので内積が0． $\overrightarrow{\mathrm{P}_0\mathrm{P}}=(x-x_0,\ y-y_0)$ なので

$$l\ :\ p(x-x_0)+q(y-y_0)=0$$

です．

このベクトル $\overrightarrow{n}=(p,\ q)$ のことを 直線 $l$ の法線ベクトルという．

南海　 その通り．直線 $ax+by+c=0$ とベクトル $(a,\ b)$ は平面上でたがいに直交している．

二つの直線 $ax+by+c=0,\ a'x+b'y+c'=0$ に対して二つの法線ベクトル $(a,\ b),\ (a',\ b')$ ができるが，もとの二直線が直交または平行であるのに応じて，それぞれの法線ベクトルも 直交または平行であるから，上の二直線の

$$\left\{ \begin{array}{l} 直交条件：aa'+bb'=0\\ 平行条件：ab'-a'b=0 \end{array}\right.$$

となるのだった．