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定積分の定義

史織　 どのように定義すべきなのでしょうか．

南海　今手元に1969年の日本書院の教科書がある． 数学IIBと数学III では区間の分割が等分か任意の分割かが違うのだが， 本質的に同じなので，ここでは数学III の定義を紹介しよう． 次のように書かれている．

関数$y=f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続とする．

 

この区間を図のように$(n-1)$個の点

 

$$x_1,\ x_2,\ \cdots ,\ x_{n-1}$$

で$n$ 個の小区間

 

$$[a,\ x_1],\ [x_1,\ x_2],\ \cdots ,\ [x_{n-1},\ b]$$

に分ける．それら小区間内にそれぞれ任意の点

$$t_1,\ t_2,\ \cdots,\ t_n\quad \cdots\maru{2}$$

をとって，和

$$S_n=\sum _{k=1}^nf(t_k)(x_k-x_{k-1})$$

を作る．

すべての小区間の長さが，いずれも0に近づくように$n$を限りなく大きくするとき， $\maru{2}$の点のとり方にかかわらず，和$S_n$は一定の極限値に近づくことが知られている．

この極限値を，関数$f(x)$の区間$[a,b]$における定積分といい

$$\int_a^bf(x)\,dx$$

で表す．

史織　 区分求積法に出てくる和の極限値が定積分の定義なのですね．

南海　 1969年には正しく書かれていた． 連続なら収束することは，証明はないが正しく指摘されている．

さらに，1984年に初版が出た『問題新集     微分・積分基本500選』（科学新興社）では， まとめに次のように書かれている．

 

$a<b$ とする． $f(x)$ を区間 $[a,b]$ で定義された関数とする．分割

$$\Delta : a=x_0<x_1<x_2< \cdots <x_{n-1}<x_n=b$$

により， $[a,b]$ を $n$ 個の小区間

$$[x_0,\ x_1],\ [x_1,\ x_2],\ \cdots ,\ [x_{n-1},\ x_n]$$

に分ける． 各小区間に属する任意の点 $c_k\ (k=1,\ 2,\ ,\cdots,n)$ をとる． また, $k=1,\ 2,\ ,\cdots,n$に対する小区間の幅 $x_k-x_{k-1}$ の 最大値を $\vert{\it\Delta}\vert$ で表す．

 

    極限値


$$S=\lim_{{\it\Delta} \to 0}\sum _{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1}) \quad \cdots \maru{3}$$

が存在するとき, $f(x)$ は $[a,b]$ で積分可能であるといい,

$$S=\int_a^bf(x)\,dx$$

と定める．

南海　 これが正確な定積分の定義だ．

この和

$$\sum _{k=1}^nf(c_k)(x_k-x_{k-1})$$

を，「リーマン和」という．リーマン(Riemann，1826〜1866)は19世紀ドイツの数学者である． 現代にいたってますますその偉大さが際立ってくる．最も尊敬する偉人だ．．

この定義では「 $S$ が存在するとき」と書かれているがそれは

$$\vert\Delta\vert \to 0 となるどのような分割についても同一の値に収束するとき$$

ということだ．だから値が存在するときは，分割を区間 $[a,b]$ を $n$ 等分するものにとって 値を計算してよく，それが区分求積法の計算式

$$\lim_{n \to \infty}\dfrac{b-a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f \left(a+\dfrac{b-a}{n}k\right)$$

だ．

史織　 $c_k$ を小区間の端点にとるのですね．

そうすると，定積分の定義というのは， $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸で囲まれた図形の $x$ 軸の上にある部分の面積を $+$で， 下にある部分の面積を$-$でとり加えたもの，を意味するのですね．

南海　その通りだ．積分というのは歴史的にも求積法から来ているのだ．