南海 求積法のはじまりであるアルキメデスによる放物線の面積を求める方法を 紹介しよう．
放物線の面積の問題を初めて解決したのは，アルキメデスだ．アルキメデス (Archimedes，紀元前287〜212)はギリシャ時代後期の人だ．イタリア半島の先の島シシリー島の シラクサに生まれ，エジプトのアレキサンドリアに長く留学し，のち故郷に帰ってそこで一生を 過ごした．彼は理論ばかりでなく，その応用にも気を配った．たとえば，時の王ヒーロンが建造 した軍艦があまりに大きく，進水させるのに困っていたときに，滑車を利用してその軍艦を進水 させ，また反射鏡を利用して，おしよせる敵の軍艦を焼き放ったこともある．シラクサがローマ 軍の侵攻を受けたときには，石を飛ばす機械などの武器を発明して敵軍をおおいに悩ませた．
しかし，シラクサもついに落城の日を迎えてしまった．シシリー島にせめこんだローマの軍隊はこ の天才を殺してしまった．プルタークの『英雄伝』は次のようにその最期を記す．「アルキメデス は自分の家で図形を見ながら何か考えていた．心も顔もその研究に注いでいたのでローマ軍が侵入 したことも町が陥落したことも気づかずにいた．突然一人の兵隊がそこに来てアルキメデスへつい て来いと命令した．だがアルキメデスはその問題を解いて証明を得ないうちは行こうとしなかった． 兵隊は腹を立てて剣を抜いて刺し殺してしまった」．また「兵士の１人が彼の研究中の円をふんだ ので，思わず『その円をふむな』と叫んだところ，槍で刺されてしまった．」ともいわれている．
アルキメデスの逸話のなかで最も有名なのは，ヒーロン王の王冠の話である．ヒーロン王はあると き，鍛冶屋に純金をわたして，それで王冠を作るように命じた．王冠はみごとにできあがったが， しかしこの鍛冶屋は，渡された純金を全部使わないで，それに混ぜ物をして王冠を作ったのではな いかという噂が流れた．そこでヒーロン王は，アルキメデスに命じて，この王冠が果して純金だけ でできているか，それとも混ぜ物がしてあるかを調べさせた．
大切な王冠をあずかったアルキメデスは，それを傷つけることなく，純金だけでできているか，混 ぜ物がしてあるかの判定法を見出すのに日夜苦心した．ある日浴場で，湯のなかでは，自分の身体 が少し軽くなることに気づいた．これから彼は「物体は，水中では，それと同体積の水の目方だけ 軽くなる」という，いわゆるアルキメデスの原理を思いついたといわれる．これを利用すれば，王 冠の鑑別ができることに気づいたアルキメデスは，「私は発見した」と叫びながら，裸で家まで走 って帰ったという．
この原理から，王冠の空中での重さ 
と水中での重さ 
の差として王冠の体積 
がわ
かる．比重がわかり，純金の比重と比べれば混ぜ物が入っているかどうかわかるのだ．