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アルキメデスの求積法

このアルキメデスの数学に関する仕事のなかで最も有名なのは，いろんなものの面積や体積を求め たことだ．球の表面積 $S=4 \pi r^2$ を求めたのもアルキメデスである．その方法は，面積を小さ な部分に分け加える，という区分求積法であった．

この時代は，もちろん座標の方法もないし，関数を式に表すことも知られていない．彼は放物線で 囲まれた図形の面積を次のように求めた．一応座標に入れて説明する．アルキメデスはもっと図形 的にやったのである．

 

$x$ 座標が $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の $x$ 座標の中点と一致する点を $\mathrm{M}$ ， $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ での接線の交点を $\mathrm{N}$ とする．このとき一般に

$$\bigtriangleup \mathrm{ABM}=\dfrac{1}{2}\bigtriangleup \mathrm{ABN}$$

になる．こういう放物線の性質を彼はよく知っていた．

そこで $\mathrm{A}(-1,\ 1)$ ， $\mathrm{B}(2,\ 4)$ ，求める面積を $S$ とし， $\bigtriangleup \mathrm{ABM}$ の面積を $T$ とすると，

$$S=\dfrac{4}{3}T$$

となるというのである．

彼は次のように示した．右側の図の斜線部分の面積はちょうど $\dfrac{1}{4}T$ である(なぜか？)． ここで斜線部分に対して同じ操作を行うとさらに $\dfrac{1}{4^2}T$面積が増える．このようにして 次々に加えていくとこの面積の和は $S$ に近づく．つまり

$$S=T+\dfrac{1}{4}T+\dfrac{1}{4^2}T+\cdots=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{4}}T=\dfrac{4}{3}T$$

$T$ はいくらになるか

史織　 $\mathrm{M}$の座標は $\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4} \right)$なので

$$\overrightarrow{\mathrm{MA}}=\left(-\dfrac{3}{2},\ \dfrac{3}... ...htarrow{\mathrm{MB}}=\left(\dfrac{3}{2},\ \dfrac{15}{4}\right)$$

ですから

$$T=\dfrac{1}{2}\left\vert\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{15}{4} \right\vert =\dfrac{27}{8}$$

です．

南海　だから

$$S=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{27}{8}=\dfrac{9}{2}$$

というわけだ．

昔の人はいろんな面積をこのような区分求積法で求めた．日本の和算家も求めている．

史織　わー，たいへんですね．

南海　そこで「微積分の基本定理」なのだ．