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微積分の基本定理

同じく『問題新集     微分・積分基本500選』（科学新興社）のまとめに次のように書かれている．

微積分の基本定理

関数 $f(x)$ が区間 $I$ で連続ならば， $I$ の点 $a,\ x$ に関して， $x$ の関数

$$F(x)=\int_a^x f(t)\,dt \quad は \quad F'(x)=f(x) \quad を満たす$$

$$\dfrac{d}{dx}\int _a^xf(t)\,dt=f(x)$$

したがって，その結果として
    関数 $f(x)$ が区間 $I$ で連続で， $F(x)$が $f(x)$ の原始関数ならば，

$$\int _a^bf(x)\,dx= \left[F(x) \right]_a^b=F(b)-F(a)$$

が成り立つ．

史織　�Bの極限が $f(x)$ が連続なら存在するのですか．

南海　そうだ．理論的にはそこが肝心なところなのだ． その証明自体は高校範囲を超える．

大切なことは，積分は �Bの和の極限として定まり， その意味は $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた図形の符号つき面積だ，ということだ．

�Bが存在しているとき， その和の極限である「符号付き面積」が実は原始関数から求まる， というのが「微積分の基本定理」なのだ．それを示そう．

関数 $f(x)$ が区間 $I$で連続で $f(x)\ge 0$ とする．$I$ の点 $a,\ x$ に関して， $x$ の関数

$$G(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$

を考える．これは $y=f(x)$ と $x$ 軸および $(a,\ 0),\ (x,\ 0)$ を通る $y$ 軸に平行な 2直線で囲まれる図形の面積である．

 

$x$ に対して増分 ${\it\Delta}x$ をとり小区間 $[x,\ x+{\it\Delta}x]$ での最小値を $m$ ，最大値を $M$ とする．

$$m \cdot{\it\Delta}x \le G(x+{\it\Delta}x)-G(x)\le M \cdot{\it\Delta}x$$

${\it\Delta}x \to 0$ のとき $m,\ M \to f(x)$ である．よって

$$m \le \dfrac{G(x+{\it\Delta}x)-G(x)}{{\it\Delta}x} \le M$$

より

$$\lim_{{\it\Delta}x \to 0 } \dfrac{G(x+{\it\Delta}x)-G(x)}{{\it\Delta}x} =f(x)$$

したがって

$$G'(x)=f(x) \quad つまり \dfrac{d}{dx}\int _a^xf(t)\,dt=f(x)$$

$f(x)$の原始関数を $F(x)$ とする．

$$G(x)=F(x)+C$$

とおける．$G(a)=0$ なので $C=-F(a)$

$$∴ \quad G(x)=F(x)-F(a) \quad つまり\int _a^bf(x)\,dx= \left[F(x) \right]_a^b=F(b)-F(a)$$

史織　すると「 $y=f(x)$ と $x$ 軸に囲まれた図形の面積は， $f(x)$ の 原始関数でも求めることができる」ということが，「微積分の基本定理」なのですね．

南海　そうだ．

放物線 $y=x^2$ と 放物線上の2点 $(-1,\ 1),\ (2,\ 4)$ を結ぶ直線で囲まれた図形の面積は， アルキメデスのように区分求積をしなくても， 2点を結ぶ直線の式 $y=x+2$ を出して

と求まる．ここに「基本定理」があるのだ．

リーマン和に関する入試問題を紹介しておこう．

演習 17       ［03京大後期理系5番］解答17

極限 $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\left(\dfrac{k}{2n} \right)^{100}$$ を求めよ．

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