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和の期待値

確率変数$X$ は $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$ の値を取り， その確率が $p_1,\ p_2,\ \cdots ,\ p_n$ であるとする． つまり $P(X=x_i)=p_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$であるとする．

確率変数$Y$ は $y_1,\ y_2,\ \cdots ,\ y_m$ の値を取り， その確率が $q_1,\ q_2,\ \cdots ,\ q_m$ であるとする． つまり $P(Y=y_i)=q_i\ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ m)$であるとする．

値$x_i+y_j$を確率 $P(X=x_i,\ Y=y_j)$でとる確率変数を，確率変数$X$と$Y$の和といい，$X+Y$と書く．

値$x_iy_j$を確率 $P(X=x_i,\ Y=y_j)$でとる確率変数を，確率変数$X$と$Y$の積といい，$XY$と書く．

確率変数$X+Y$の期待値 $E(X+Y)$ は $E(X)+E(Y)$ と一致する．

史織　

$$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^nP(X=x_i,\ Y=y_j)&=&P(Y=y_j)=q_j\\ \sum_{j=1}^mP(X=x_i,\ Y=y_j)&=&P(X=x_i)=p_i \end{eqnarray*}$$

なので

$$\begin{eqnarray*} E(X+Y)&=&\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (x_i+y_j)P(X=x_i,\ Y=y_j)\\... ...y_j)\\ &=&\sum_{i=1}^nx_ip_i+\sum_{j=1}^my_jq_j\\ &=&E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$$

南海　 これは要するに，英語と数学の合計の平均を求めるのに，先にそれぞれの合計を出しその平均をとろうと，各教科の平均を出してから加えようと，同じ結果になるということである． $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ は何かと便利な公式であるので，使ってみよう．

3個の変量$X,\ Y,\ Z$のときも

$$E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)$$

が成り立つ．

史織　 期待値は結局根元事象の全体にわたる和であるという観点から $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$を示せませんか．

南海　 できる．やってみてほしい．

史織　 $X$の値が$x_i$であり，$Y$の値が$y_j$であるような事象を$A_{i,j}$とおく．すると標本空間$U$は 互いに排反な事象$A_{i,j}$の和になる．そして

$$P(X=x_i,\ Y=y_j)=p(A_{ij})=\sum_{u \in A_{i,j}}p(u)$$

である．$u\in A_{ij}$に対して

$$x_i+y_j=X(u)+Y(u)$$

なので

$$\begin{eqnarray*} (x_i+y_j)P(X=x_i,\ Y=y_j)&=&(x_i+y_j)\left\{\sum_{u \in A_{i,j... ...) \right\}\\ &=&\sum_{u \in A_{i,j}}\left(X(u)+Y(u) \right)p(u) \end{eqnarray*}$$

したがって

$$\begin{eqnarray*} E(X+Y)&=&\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (x_i+y_j)P(X=x_i,\ Y=y_j)\\... ...u)\\ &=&\sum_{u \in U}X(u)p(u)+\sum_{u \in U}Y(u)p(u)=E(X)+E(Y) \end{eqnarray*}$$

です．

ここで期待値の和を問う過去問題を紹介しよう．

演習 18       ［04北大前期理系］解答18

ある人がサイコロを振る試行によって，部屋A，Bを移動する. サイコロの目の数が1，3のときに限り部屋を移る． また各試行の結果，部屋Aに居る場合はその人の持ち点に1点を加え，部屋Bに居る場合は1点を減らす． 持ち点は負になることもあるとする． 第$n$試行の結果，部屋A，Bに居る確率をそれぞれ $P_A(n),\ P_B(n)$と表す． 最初にその人は部屋Aに居るものとし(つまり， $P_A(0)=1,\ P_B(0)=0$とする)，持ち点は1とする．

1. $P_A(1),\ P_A(2),\ P_A(3)$および $P_B(1),\ P_B(2),\ P_B(3)$を求めよ． また，第3試行の結果，その人が得る持ち点の期待値$E(3)$を求めよ．
2. $P_A(n+1),\ P_B(n+1)$を $P_A(n),\ P_B(n)$を用いて表せ．
3. $P_A(n),\ P_B(n)$を$n$を用いて表せ．
4. 第$n$試行の結果，その人が得る持ち点の期待値$E(n)$を求めよ．