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ヒルベルトの基底定理

南海　 ヒルベルトは，方程式の不変式については， 問題を肯定的に解決した． その根拠となったのが次の基底定理である． 『数学対話』「整式の整数論」にイデアルが出てきた．

耕介　 整数の部分集合$A$で，$A$の2つの元の差， および$A$の元の整数倍が再び$A$に属するような 部分集合をイデアルという，とありました．

南海　 これを多項式の場合に正確に言おう． $n$変数の多項式の集合$K[{\bf x}]$には， 和の単位元 0と積の単位元 1があり， 和差および積の演算で閉じている， つまりそれらの演算の結果は再び$K[{\bf x}]$に属する． このような性質をもつ集合を環という． 多項式の集合の場合は多項式環といわれる．

定義 6 (多項式環のイデアル)
$K[{\bf x}]$の部分集合$I$で次の性質をもつものを $K[{\bf x}]$のイデアルという．

1. $f,\ g \in I$なら$f-g \in I$
2. $f\in I$なら任意の $p \in K[{\bf x}]$に対して $p\cdot f\in I$

例えば， 1変数多項式環$K[x]$で定数項が0であるような多項式の集合$J_0$はイデアルである．

さて，イデアル$I$ が $f_1,\ f_2,\ \cdots,\ (無限個あってもよい)$で生成されるとは， $I$の各元$f$が $f_1,\ f_2,\ \cdots$の中の ($f$によって異なってもよい)有限個の $f_{a_1},\ f_{a_2},\ \cdots,\ f_{a_t}$を用いて $p_{a_1}f_{a_1}+p_{a_2}f_{a_2}+\cdots+p_{a_t}f_{a_t}$ と書き表されることをいう．いいかえると，

$$I=\{p_1f_1+p_2f_2+\cdots \ \vert\ p_1,\ p_2,\ \cdots,\ \in K[{\bf x}]， 有限個を除く\ p_i\ は0 \}$$

と表せることをいう．

耕介　 $J_0$は$x$で生成されます．

南海　 そう．この場合は1つの元で生成される． さて，次の基本定理が成り立つ． つまり，上の $f_{a_1},\ f_{a_2},\ \cdots,\ f_{a_t}$を固定することが出来る．

定理 7 (ヒルベルトの基底定理)
$K[{\bf x}]$の元 $f_1,\ f_2,\ \cdots$で生成される任意のイデアルは， $f_1,\ f_2,\ \cdots$の中の有限個の元で生成される．

証明

${\bf x}=(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の変数の個数$n$についての 数学的帰納法でおこなう．

$n=0$のとき．このとき多項式環は定数項のみからなり$K$そのものである． $K$の任意のイデアル$I$に対し，0でない$I$の元$j$を取ると， $\dfrac{1}{j}$が$K$の元なので，$j$との積1が$I$に属する． したがって任意の$K$の元$k$に対して，$k=k\cdot 1$より， $k$が$I$に属する．つまり，$K$のイデアルは$\{0\}$と$K$しかない． このときは$I$はそれぞれ0と1で生成される．

変数の個数が$n-1$のとき， つまり $K[x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1}]$で定理が成立するとする．

$I$の元 $f(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$を$x_n$で整理し，

$$f(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n) =f^*(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1})x_n^N+\cdots$$

とする．これら$x_n$に関して最高次の項の係数となる $K[x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1}]$の整式 $f^*(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1})$の全体で生成される $K[x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1}]$のイデアルを$I^*$とする． 数学的帰納法の仮定から，$I^*$には有限個の元 $f^*_1,\ \cdots,\ f^*_s$が存在し，$I^*$はこれらで生成される． $f_1,\ \cdots,\ f_s$の中の$x_n$に関する次数の最高値を$d$とする．

次に$0\le i \le s$に対して

$$L_i= \{0\}\cup \{f^*\ \vert\ f\in I，\deg f=i\ \}$$

とする． これは明らかに $K[x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1}]$のイデアルなので， その中の有限個の元で生成される． それを

$$g^*_{ik}\ \left(1\le k \le r(i)\right)$$

とする． そこで，$I$の元の集合

$$\{f_1,\ \cdots,\ f_s\} \cup \bigcup_{i=1}^s\{g_{ik}\ \vert 1\le k \le r(i)\ \}$$

を考え，これで生成される $K[x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n]$のイデアルを $I'$とする．

$I'=I$を示す．$I'\subset I$は明か．

$I$の任意の元$f$をとる． $f\in I'$を$f$の次数に関する数学的帰納法で示す．

$\deg f=0$なら，$f=f^*\in L_0$より成立． $d-1$次までは成立するとする．

$d<s$のとき． $f^*\in L_d$なので， $K[x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1}]$ の元$p_k$を用いて

$$f^*=\sum_{k=1}^{r(d)}p_kg^*_{dk}$$

と表せる．このとき，

$$\deg\left(f-\sum_{k=1}^{r(d)}p_kg_{dk}\right)\le d-1$$

となるので， 帰納法の仮定から $$f-\sum_{k=1}^{r(d)}p_kg_{dk}$$は $I'$に属し，かつ $$\sum_{k=1}^{r(d)}p_kg_{dk}\in I'$$であるから， あわせて$f\in I'$である．

$d\ge s$のとき． 同様に考え $K[x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{n-1}]$ の元$p_k$を用いて

$$f^*=\sum_{k=1}^sp_kf^*_k$$

と表せる． $\deg f_k=\beta_k\ (1\le k \le s)$とする． このとき，

$$\deg\left(f-\sum_{k=1}^sp_kx_n^{d-\beta_k}f_k\right)\le d-1$$

となるので， 帰納法の仮定から $$f-\sum_{k=1}^sp_kx_n^{d-\beta_k}f_k$$は $I'$に属し，かつ $$\sum_{k=1}^sp_kx_n^{d-\beta_k}f_k\in I'$$ であるから$f\in I'$である．

よって$I\subset I'$となり，$I=I'$が示された．

この結果$I$が有限個の元で生成されることが確定した． □

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