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有限群の場合

南海　

この基底定理を根拠にすると，$G$が有限群の場合， ヒルベルトの問題が肯定的に示される． 多項式環$K[{\bf x}]$の元$f$に対し

\begin{displaymath} E(f)=\dfrac{1}{\vert G\vert}\sum_{\sigma \in G}f^{\sigma}(\mathrm{\bf x}) \end{displaymath}

とおく．ただし，$\vert G\vert$は$G$の要素の個数を表す．

耕介　 これって$G$が作用していった多項式の平均ではありませんか．

南海　 そうだ．

補題 1
  1. $E(f)$は$G$不変である．
  2. $f$が$G$不変なら$E(f)=f$．
  3. $f,\ g\in K[{\bf x}]$に対し $E(f+g)=E(f)+E(g)$．
  4. $f$が$G$不変なら $g\in K[{\bf x}]$に対し$E(fg)=fE(g)$．

証明
  1. $G$の要素を

    \begin{displaymath} \sigma_1,\ \sigma_2,\ \cdots \sigma_t \end{displaymath}

    とし，$\tau$を$G$の任意の要素とすると，$G$が群なので

    \begin{displaymath} \{\tau\sigma_1,\ \tau\sigma_2,\ \cdots \tau\sigma_t \}= \{\sigma_1,\ \sigma_2,\ \cdots \sigma_t \}=G \end{displaymath}

    である．だから

    \begin{displaymath} E(f)^{\tau}= \dfrac{1}{\vert G\vert}\sum_{\sigma \in G}f^{... ...t G\vert}\sum_{\sigma \in G}f^{\sigma}(\mathrm{\bf x}) =E(f) \end{displaymath}

    $f$が何であっても$E(f)$は$G$不変である．
  2. 明らかである．
  3. 明らかである．

  4. \begin{eqnarray*} E(fg) &=&\dfrac{1}{\vert G\vert} \sum_{\sigma \in G}(fg)^{\... ... G\vert} \sum_{\sigma \in G}g^{\sigma}(\mathrm{\bf x}) =fE(g) \end{eqnarray*}

    □

さらに一点注意として， $f\in K[{\bf x}]$への$GL(n)$の作用は次数を変えないので， $f$が$G$不変式なら，$f$を

\begin{displaymath} f=f_0+f_1+\cdots+f_d\quad (f_j は f の次数 j の部分) \end{displaymath}

と分割すると，各$f_j$が$G$不変式である． $f_j$を斉次不変式という．

定理 8
$G$を$GL(n)$の有限部分群とし，$G$不変式の集合を$H$とする． 有限個の$G$不変式 $s_1,\ s_2,\ \cdots,\ s_N$ が存在し， $H$の各要素$f$を適当な$K$多項式$F$を用いて，

\begin{displaymath} f=F(s_1,\ s_2,\ \cdots,\ s_N) \end{displaymath}

と表すことができる．

証明

次数が正の斉次不変式が生成する$K[{\bf x}]$のイデアルを$I$とする． ヒルベルトの基底定理により， $I$は有限個の次数正の$G$不変斉次式 $s_1,\ s_2,\ \cdots,\ s_N$で生成される． $K$係数の $s_1,\ s_2,\ \cdots,\ s_N$の多項式の集合を $R$とする．

\begin{displaymath} R=K[s_1,\ s_2,\ \cdots,\ s_N]=H \end{displaymath}

を示せばよい．

\begin{displaymath} R\subset H \end{displaymath}

は明らかである．そこでこれが一致しないとする． $H$の元であって$R$には属さない不変式が存在する． そのような不変式の斉次部分全体のなかで， 次数が最小のものを$f$とする． $f$は次数最小の$G$不変斉次式である． $f\in I$なので，斉次式 $p_1,\ \cdots,\ p_N$が存在して

\begin{displaymath} f=p_1s_1+p_2s_2+\ \cdots\ +p_Ns_N \end{displaymath}

とかける．このとき

\begin{eqnarray*} E(f)&=&E(p_1s_1+p_2s_2+\ \cdots\ +p_Ns_N)\\ &=&E(p_1)E(s_1)+E... ...ts\ +E(p_N)E(s_N)\\ &=&E(p_1)s_1+E(p_2)s_2+\ \cdots\ +E(p_N)s_N \end{eqnarray*}

$E(p_i)$がすべて$R$の元なら結局$f$が$R$の元になる． したがって$E(p_i)$の中に$R$の元ではないものが存在する． それを$E(p_a)$とする．

一方，$E(p_a)$はそれ自身$G$不変斉次式なので $E(p_a)\in H$である．そして

\begin{displaymath} \deg E(p_a)<\deg f \end{displaymath}

なので，これは$\deg f$の最小性に反する． よって$R=H$が示された．□


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