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ユニタリー群の場合

南海　 ゴルダン問題1.6.1は1890年，ヒルベルトによって， 基底定理を土台に解決された． その後，ヘルマン・ワイルによって別の方法が示された． それは，先の有限群のときの考え方を生かすものであった． ここではワイルの方法を$m=1$で$n$次の場合について話そう． リー群論という分野を勉強すれば， 一般の$m$の場合に展開することが出来る． とはいえ，高校範囲からいえば， いくつかのことは証明なしに進まなければならない．

耕介　 有限群の場合は，総和を群の元の個数で割った平均$E(f)$をつかうことで， 数学的帰納法がうまく使えました． 無限群では，加えたものを元の個数で割るということは出来ません．

南海　 しかし，総和に代わるものがあるだろう．

耕介　 積分ですか．

南海　 そうだ．全体にわたる積分が有限確定なら， 平均を考えることも不可能ではない． そのことを話してみよう． そこで，ここからは多項式環の係数は複素数$C$とする． よって$SL(2)$も成分は複素数値である．

耕介　 複素数$p,\ q,\ r,\ s$で$ps-qr=1$であるようなものによって $\left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array}\right)$と表される行列の全体です． しかしそうすると，$SL(2)$が作用するベクトル空間も 複素数成分ですか．

南海　 そうだ． $(z_1,\ z_2)\ ,\ (z_1,\ z_2\in C)$であるような空間を考える． これを$C^2$と書こう．

耕介　 複素2次元ということは，実数から見れば4次元ですか．

南海　 そうだ．そして，ベクトル ${\bf x}=(z_1,\ z_2)$の大きさを

$$\left\vert{\bf x}\right\vert^2=\left\vert z_1 \right\vert^2+\left\vert z_2 \right\vert^2 =z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}$$

で定める．

耕介　 これって2つのベクトル ${\bf x}=(z_1,\ z_2)$と $(\overline{z_1},\ \overline{z_2})$ の内積です．

南海　 普通これを「エルミート積」という． 内積の記号を使うと ${\bf x}\cdot\overline{{\bf x}}$と書ける． $SL(2)$の元であって，$C^2$のベクトルの大きさ， つまりエルミート積を変えないものの集合を$SU(2)$と書く． これは$SL(2)$の部分群でユニタリ群といわれる． この群は有限群とは違うが，全体を積分した値が有限である． それを考える． そこでまず，$SU(2)$の元はどんな形をしているか．

耕介　 $\sigma= \left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array}\right)$とします．また任意の ${\bf x}=(z_1,\ z_2)$をとります． 内積を１行２列，あるいは２行１列の行列の積と見れば

$$z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2} =(z_1,\ z_2)\left( \beg... ...ray}{c} \overline{z_1}\\ \overline{z_2} \end{array}\right)$$

なので，$\sigma{\bf x}$のエルミート積は

$$\sigma{\bf x}\cdot\overline{\sigma{\bf x}}= (z_1,\ z_2) \lef... ...ray}{c} \overline{z_1}\\ \overline{z_2} \end{array}\right)$$

となります．これがつねに $z_1\overline{z_1}+z_2\overline{z_2}$ と等しいので，

$$\left( \begin{array}{cc} p&r\\ q&s \end{array}\right)\l... ...\overline{q}\\ \overline{r}&\overline{s} \end{array}\right)$$

が単位行列です．かつ$SL(2)$の元でもあるので， 成分で書くと

$$\left\{ \begin{array}{l} p\overline{p}+r\overline{r}=1\\ ... ... p\overline{q}+r\overline{s}=0\\ ps-qr=1 \end{array}\right.$$

これをもとに，$r$と$s$を求めると， $r=-\overline{q}$， $s=\overline{p}$になります．結局

$$SU(2)=\left\{ \left( \begin{array}{cc} p&q\\ -\overline{... ...\vert^2+\left\vert q \right\vert^2=1,\ p,\ q\ \in C \right\}$$

です．

これは，実成分で $z_1=s+it,\ z_2=u+iv$とおくと

$$s^2+t^2+u^2+v^2=1$$

です．球面の方程式のようです．

南海　 ４次元空間の中の３次元球面だ． そこで，

$$s^2+t^2+u^2+v^2=r^2$$

を考える．これは半径$r$の３次元球面だ． この体積$V(r)$と表面積$S(r)$，実際は４次元立体と３次元立体のなのだが， これは求まるか．

耕介　 そんな積分はわかりません．

南海　 では，円の面積と円周， 球の体積と表面積はどのような関係であったか．

耕介　

$$\begin{array}{lll} 2次元&3次元&4次元\\ 面積：\pi r^2&体.. ...{3}r^3&V(r)\\ ア゜シ・\pi r&表面積：4\pi r^2&S(r) \end{array}$$

です．

南海　 上段を$r$で微分すると下段になる． 球の体積は円の面積から回転体の体積計算で求まる．

耕介　 3次元の体積を回転させて$V(r)$を求め，それを微分すれば$S(r)$になるのですね． $v$を固定すると

$$s^2+t^2+u^2=r^2-v^2$$

は３次元球体なのでその体積は

$$\dfrac{4\pi}{3}(r^2-v^2)^{\frac{3}{2}}$$

です．だから $v=r\sin \theta$で置換すれば計算できます．

$$\begin{eqnarray*} V(r)&=&2\int_0^r\dfrac{4\pi}{3}(r^2-v^2)^{\frac{3}{2}}\,dv =\d... ...heta+\dfrac{1+\cos4\theta}{2}}{4} \,d\theta =\dfrac{\pi^2r^4}{2} \end{eqnarray*}$$

したがって

$$S(r)=V'(r)=2\pi^2r^3$$

です．

南海　 とにかく有限群ではないが，$SU(2)$はその３次元球面としての総面積が $S(1)=2\pi^2$であることがわかった．

南海　 これで次の場合に不変式が有限個でかけることが示せる． そのために$SL(2)$の不変式について もうういちどふり返っておこう．

$SL(2)$の元$\sigma$に対して2の方法で $x$の$n$次式が変換され，その結果$n+1$個の係数の間の変換が定まる． 今は，不変式の伝統に従い $f(x)$を(5)において係数の変換定めている．

この過程を通して$SL(2)$が $n+1$変数の整式に作用するのだった． そこで$f$をこのような$n+1$変数の整式とし， この作用による$f$の変換を$f^{\sigma}$と書こう．

今は，$SL(2)$の部分群$SU(2)$の不変式を考えるのだ．

耕介　 有限群の場合に平均$E(f)$をとった作用に関して， ユニタリー群$SU(2)$の場合は， 形式的には$x$の整式$f$に対して

$$E(f)=\dfrac{1}{2\pi^2}\int_{SU(2)} f^{\sigma}\,d\sigma$$

とするのですね．

南海　 有限群のときは単なる和であったが， この場合は積分なので， $\sigma \in SU(2)$の元を $\sigma \in SU(2)$にかけると， これは球面$H$をそれ自身に写す変換であるが， この変換で$d\sigma$が変わらないことをおさえなければならない． ところが$SU(2)$はエルミート積を一定に保ち， 図形的には球面$S$の長さとなす角，したがってその面積要素を変えない． この結果$E(f)$は$SU(2)$の作用による不変式となる． $f$が$SU(2)$不変なら$E(f)=f$も成り立つ．

耕介　 まだ$SL(2)$不変ではないですね．

南海　 そう．それはこれから考える．

今わかったことは，次のことだ．

定理 9
$GL(2)$の部分群$G$を$SU(2)$にとる． 方程式の係数変換を通して$SU(2)$を $n+1$変数の整式$f$に作用させる． この作用による不変式の集合を$H$とする． 有限個の$G$不変式 $s_1,\ s_2,\ \cdots,\ s_N$ が存在し， $H$の各要素$f$を適当な$K$多項式$F$を用いて，

$$f=F(s_1,\ s_2,\ \cdots,\ s_N)$$

と表すことができる．

耕介　 証明は有限群の場合とまったく同じですね．

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