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不変式の定義

南海　 これまで考えてきた方程式の不変式を整理し，一般的に不変式を定義しよう．

$ps-qr=1$であるような２次行列の全体を $SL(2)$と書こう． $\sigma \in SL(2)$が $\sigma= \left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array}\right)$のとき， $\sigma(x)=\dfrac{px+q}{rx+s}$と書こう．

判別式の$SL(2)$に対する不変性の確認は，$\sigma$で考えても $\sigma^{-1}= \left( \begin{array}{cc} s&-q\\ -r&p \end{array}\right)$で考えても同じことだった． ここはもういちど最初の変換に立ちかえって考えよう．

$$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$$

に対して整式$f^{\sigma}(x)$を

$$f^{\sigma}(x)=(-rx+p)^nf\{\sigma^{-1}(x)\}$$

で定め，この係数を

$$f^{\sigma}(x) ={a_0}'x^n+{a_1}'x^{n-1}+{a_2}'x^{n-2}+\cdots+{a_{n-1}}'x+{a_n}'$$

とする．このとき，

$$\left( \begin{array}{c} {a_0}'\\ {a_1}'\\ {a_2}'\\ \cdots\... ...array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2\\ \cdots\\ a_n \end{array}\right)$$

で定まる$n+1$次の行列$A$が定まった． $n+1$次の行列で逆行列のあるものの全体を$GL(n+1)$と書く． $\sigma$が$SL(2)$を動くとき，これによって $GL(n+1)$の部分集合$G$が定まる．

この対応で， $\sigma,\ \tau \in SL(2)$が $A,\ B\in GL(n+1)$に対応しているとし， $\sigma=\left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array}\right)， \tau=\left( \begin{array}{cc} t&u\\ v&w \end{array}\right)$とする． $f(x)$を$\sigma$で変換し，続いてそれを$\tau$で変換して得られる 係数はどのようになるか．

耕介　 まず$f^{\sigma}(x)$を $f^{\sigma}(x)=(-rx+p)^nf\{\sigma^{-1}(x)\}$で定めます．

これを$\tau$で変換すると $\tau^{-1}=\left( \begin{array}{cc} w&-u\\ -v&t \end{array}\right)$なので

$$\begin{eqnarray*} (-vx+t)^nf^{\sigma}\{\tau^{-1}(x)\}&=& (-vx+t)^n\{-r(\tau^{-1}... ...\ &=&(-vx+t)^n\{-r(\tau^{-1}(x))+p\}^nf\{(\tau\sigma)^{-1}(x)\} \end{eqnarray*}$$

です．

$$\begin{eqnarray*} (-vx+t)\{-r(\tau^{-1}(x))+p\}&=& (-vx+t)\left\{-r\left(\dfrac{wx-u}{-vx+t}\right)+p\right\}\\ &=&-(vp+wr)x+(tp+ur) \end{eqnarray*}$$

なので，これはちょうど$\tau\sigma$による変換になります． そうか $\sigma^{-1}(x)$と逆元を作用させるようにした方が， 積同じ順の積に対応するのですね．

南海　 不変性を確認するときはどちらでもよいのだが， 順序を保とうとすると注意しなければならない．

耕介　 これに対して係数の変換は

$$B\left\{A \left( \begin{array}{c} {a_0}\\ {a_1}\\ \cdots\\... ...{array}{c} {a_0}\\ {a_1}\\ \cdots\\ {a_n} \end{array}\right)$$

となり，積$\tau\sigma$は$BA$に対応します．

南海　 このようにして定まる写像

$$SL(2)\ \to \ GL(n+1)$$

は積と逆元をそのまま積と像の逆元に写す． この写像の像を$G$とする．$G$は積に関して閉じているだけではなく， 行列$A$が$G$の要素なら$A^{-1}$も$G$の要素となる． つまり$G$は$GL(n+1)$の部分群である． この写像は，群の準同型写像であるという．

$f(x)$の判別式は係数 ${a_0},\ {a_1},\ \cdots,\ {a_n}$の整式であった． つまり

$$D({a_0},\ {a_1},\ \cdots,\ {a_n})$$

と表せる． $G$の任意の要素$A$をとり， ${a_0},\ {a_1},\ \cdots,\ {a_n}$ を関係式(3)で変換して，判別式を

$$D({a_0}',\ {a_1}',\ \cdots,\ {a_n}')$$

に代えたとき， ${a_0},\ {a_1},\ \cdots,\ {a_n}$ の整式として

$$D({a_0},\ {a_1},\ \cdots,\ {a_n}) =D({a_0}',\ {a_1}',\ \cdots,\ {a_n}')$$

が成り立つ． これがこれまでに調べたことのまとめだ．

耕介　 なるほど．

南海　 これは$SL(2)$の$GL(n+1)$への表現を通した判別式への作用なのだが， 要するに$SL(2)$の像である$GL(n+1)$の部分群$G$が $n+1$個の文字 ${a_0},\ {a_1},\ \cdots,\ {a_n}$に作用し， その変換で判別式を変換すると，判別式が不変になった． そこで，次のように不変式を定義しよう． ただしここでも積が保たれるように，作用させ方を工夫しておく．

一般に$n$変数の多項式

$$f(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$$

を考える．変数の書き方を工夫して，ベクトル

$$\mathrm{\bf x}= \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \cdots \\ x_n \end{array}\right)$$

をもちいて $f(\mathrm{\bf x})$と書こう．

逆行列をもつ$n$次行列の集合$GL(n)$を考え，その部分群$G$をとる． $G$の要素$\sigma$に対してこれを右からかけた $\sigma\mathrm{\bf x}$は各要素が $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の1次結合でできたベクトルだ．

$\sigma\mathrm{\bf x}$の各成分をもとの $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$に代入して得られる 多項式 $f(\sigma\mathrm{\bf x})$を $f^{\sigma}(\mathrm{\bf x})$と書こう．

まず$\sigma$を作用させ $f^{\sigma}(\mathrm{\bf x})$を作り， この多項式に$\tau$を作用させる． すると

$$(f^{\sigma})^{\tau}(\mathrm{\bf x})= f^{\sigma}(\tau\mathrm{... ...}= f(\tau\sigma\mathrm{\bf x})= f^{\tau\sigma}(\mathrm{\bf x})$$

が作られる．

定義 2 (不変式)
$G$の任意の要素$\sigma$の作用に関して不変な多項式，つまり $x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n$の整式として

$$f(\mathrm{\bf x})= f^{\sigma}(\mathrm{\bf x})$$

が成り立つ多項式を $f(\mathrm{\bf x})$を$G$不変式という．

作用のさせ方はいろんな方式があるのだが， 不変であるということに関しては，いずれでも変わらない． だから不変性を考えるかぎり混乱は起こらない．

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