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終結式の不変性

また，判別式の場合と同様に，$R$は $a_0,\ \cdots,\ a_m$および $b_0,\ \cdots,\ b_n$の整式として，既約である． さて，終結式もまた不変式であることを確認しよう． 不変性の確認なので等式2によって定まる$\bar{f}$， および同様にして定まる$\bar{g}$に関して示せばよい．

定理 4
$f(x)$と$g(x)$はそれぞれ$m$次， $n$次の整式で最高次数の項の係数は$a_0,\ b_0$であるとする． $\sigma= \left( \begin{array}{cc} p&q\\ r&s \end{array} \right) \in SL(2)$に対し

$$\begin{eqnarray*} &&\bar{f}(x)=(rx+s)^nf\left(\dfrac{px+q}{rx+s} \right)\\ &&\bar{g}(x)=(rx+s)^ng\left(\dfrac{px+q}{rx+s} \right) \end{eqnarray*}$$

で $\bar{f}(x),\ \bar{g}(x)$を定めるこのとき，

$$R(f,\ g)=R(\bar{f},\ \bar{g})$$

である．

証明

判別式の証明で示したように

$$\begin{eqnarray*} \bar{f}(x)&=&{a_0}'\prod_{i=0}^m(x-{\alpha_i}')\\ \bar{g}(x)&=&{b_0}'\prod_{j=0}^n(x-{\beta_j}') \end{eqnarray*}$$

とすると，

$$\begin{array}{ll} \displaystyle {a_0}'=a_0\prod_{i=1}^m(... ...-q}{-r\beta_j+p} \quad (j=1,\ 2,\ \cdots,\ n) \end{array}$$

となる．だから

$$\begin{eqnarray*} R(\bar{f},\ \bar{g}) &=&{a_0'}^n{b_0'}^m\prod({\alpha_i}'-{\... ...b_0}^m\prod\left\{(ps-qr)(\alpha_i-\beta_j) \right\} =R(f,\ g) \end{eqnarray*}$$

となる．