次： 四次方程式の一般的解法(2) 上： 4次方程式 前： 別のb の値なら？

四次方程式の一般的解法(1)

耕一　 この方法はそのまま文字にしてもできます． 一般の四次方程式

$$x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$$

は $x=X-\dfrac{a}{4}$とすると X の三次の項が消える．

$$X^4+ \left(- \frac{3}{8}a^2+b \right)X^2+ \left( \frac{1}{8}... ...ght)X - \frac{3}{4^4}a^4+ \frac{1}{16}a^2b- \frac{1}{4}ac+d=0$$

したがって，はじめから

$$x^4+px^2+qx+r=0$$

としてよい．このとき

$$x^4+px^2+qx+r=(x^2+a)^2-b(x+c)^2$$

となるようにする．

$$\left\{ \begin{array}{l} p=2a-b\\ q=-2bc\\ r=a^2-bc^2 \end{array}\right.$$

これから $b$ の三次方程式

$$b^3+2pb^2+(p^2-4r)b-q^2=0$$

を得る．この $b$ の値を三次方程式の解を求める方法によって定める．

それによって定める二つの二次方程式

$$x^2+a-b^{ \frac{1}{2}}(x+c)=0,\ x^2+a+b^{ \frac{1}{2}}(x+c)=0$$

から，四次方程式の四つの根が求まる.
ただし $b^{ \frac{1}{2}}$ は2乗すれば $b$ となる二つの複素数の一方を表す．

南海　 よくまとまっている． これが「フェラーリ(Lodovico Ferrari 1552〜1565)の方法」よ呼ばれるものである.