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四次方程式の一般的解法(2)

耕一　 三次方程式のときのように， 一次式の積に分解される四次式を使う解法はないのでしょうか.

南海　それがあるのだ．次の式を展開してほしい.

$$(w+x+y+z)(w+x-y-z)(w-x+y-z)(w-x-y+z)$$

耕一　やってみます.

$$\begin{eqnarray*} &&(w+x+y+z)(w+x-y-z)(w-x+y-z)(w-x-y+z)\\ &=&\{(w+x)^2-(y+z)... ...4+x^4+y^4+z^4-2(w^2x^2+w^2y^2+w^2z^2+x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)+8wxyz \end{eqnarray*}$$

これを $w$ で整理すると

$$w^4-2(x^2+y^2+z^2)w^2+8xyzw+x^4+y^4+z^4-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$$

これが$w$の4次式として，xの4次式

$$x^4+px^2+qx+r=0$$

と一致するように決められれば，解が得られる     つまり

$$\begin{eqnarray*} p&=&-2(x^2+y^2+z^2)\\ q&=&8xyz\\ r&=&x^4+y^4+z^4-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \end{eqnarray*}$$

これから

$$y^2+z^2=- \frac{p}{2}-x^2\,,\,\,\,yz= \frac{q}{8x}$$

これを第3式に代入すると

$$\begin{eqnarray*} r&=&x^4+(y^2+z^2)^2-4y^2z^2-2x^2(y^2+z^2)\\ &=&x^4+ \left(-... ...-x^2 \right)\\ &=&4x^4+2px^2+\dfrac{p^2}{4}-\dfrac{q^2}{16x^2} \end{eqnarray*}$$

これから $x^2$ の三次方程式

$$64x^6+32px^4+(4p^2-16r)x^2-q^2=0$$

が得られる.

つまり三次方程式と平方根で $x$ が得られ， $y$ と $z$ は二次方程式で得られて， もとの四次方程式が解ける！

南海　というわけだ．このように四次方程式も 係数に関する「根号」演算と四則演算で解ける．