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1の17乗根

南海　 実は $p=2^k+1$ 型の素数では このようにしてもとの $p$ 乗根を求めることができる．5の次は17だ．

1の17乗根を求めよう．そこでまず $p=17$ はどちらの型かな．

耕一　 $\theta= \dfrac{2\pi}{17},\,\alpha=\cos \theta + i \sin \theta$ とします．

$$\begin{eqnarray*} \alpha&&\\ \alpha^2&&\\ \alpha^{2^2}&=&\alpha^4\\ \alph... ...ha^9=\overline{\alpha}^8\\ (\alpha^{2^8}&=&\alpha^{18}=\alpha) \end{eqnarray*}$$

ですから， $p=7$ と同じく半分で終わりです．

南海　 しかも, $p=7$ と違って この8個の中にすでに共役なものが組になって入っている．

耕一　 本当だ．

南海　 この8個の和を $\gamma_1$ ，残り8個の和を $\gamma_2$ としよう． $p=7$ のときと同様にこの和と積は求まる．

耕一　 でも計算はたいへんです．

南海　 確かに．少し見通しよくすることを考えよう． 今は $\alpha$ を順次 $2^k\ (k=0,\ 1,\ \dots)$ 乗していったわけだが， 順次 $4^k\ (k=0,\ 1,\ \dots)$ 乗するとどうなるかな．

耕一　

$$\begin{eqnarray*} \alpha&&\\ \alpha^4&&\\ \alpha^{4^2}&=&\alpha^{16}=\overl... ...{13}=\overline{\alpha}^4\\ (\alpha^{4^4}&=&\alpha^{52}=\alpha) \end{eqnarray*}$$

となって4回で終わりです．

南海　 そこでこの4個の和を $\beta_1$ ，$\gamma_1$ のなかの残りの和を $\beta_2$ とする．

$$\begin{eqnarray*} \beta_1&=&\alpha+\alpha^4+\overline{\alpha}+\overline{\alpha}... ...ta_2&=&\alpha^2+\alpha^8+\overline{\alpha}^2+\overline{\alpha}^8 \end{eqnarray*}$$

$\gamma_2$ をどのように二つに分けるかが難しいのだ．これまでのことをたどると分かるのだが 規則性をもって $\beta_1$ と $\beta_2$ の各項の指数を3倍することにしよう．

$$\begin{eqnarray*} \beta_3&=&\alpha^3+\alpha^{12}+\overline{\alpha}^3+\overline{... ...{24} =\alpha^6+\alpha^7+\overline{\alpha}^6+\overline{\alpha}^7 \end{eqnarray*}$$

これまでと同様に

$$\gamma_1+\gamma_2= (\beta_1+\beta_2)+(\beta_3+\beta_4)=-1$$

つぎに $\gamma_1\gamma_2=(\beta_1+\beta_2)(\beta_3+\beta_4)$ を求め， $\beta_1+\beta_2$， $\beta_3+\beta_4$ を決定しよう．

耕一　 計算します．

$$\begin{eqnarray*} \beta_1\beta_3&=&\alpha^4+\alpha^6+\overline{\alpha}^2+\overl... ...\overline{\alpha+2\alpha^2+\alpha^3+\alpha^4+\alpha^5+2\alpha^8} \end{eqnarray*}$$

$$\begin{eqnarray*} ∴&&\gamma_1\gamma_2=(\beta_1+\beta_2)(\beta_3+\beta_4)\\ &=&... ...alpha+\cdots +\alpha^8+\overline{(\alpha+\cdots +\alpha^8)}\}=-4 \end{eqnarray*}$$

符号は $p=7$ と同様に決まるので，

$$\begin{eqnarray*} \gamma_1=\beta_1+\beta_2&=&\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}\\ \gamma_2=\beta_3+\beta_4&=&\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2} \end{eqnarray*}$$

です．

南海　 するとだな, $\beta_1 \beta_2$, $\beta_3 \beta_4$ が分かれば次の段階に進める．

耕一　 計算は上と同じですね．結果は

$$\begin{eqnarray*} \beta_1\beta_2&=&\alpha^3+\alpha^9+\overline{\alpha}+\overlin... ...^6+\overline{\alpha}^5+\overline{\alpha}+\overline{\alpha}^2}=-1 \end{eqnarray*}$$

ですから $\beta_1,\ \beta_2$ は

$$t^2-\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}t-1=0$$

の2解，符号を同様に見て

$$\beta_1=\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}+\sqrt{\df... ...ight) =\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\dfrac{\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{4}$$

同様にして求めると

$$\beta_3=\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}+\sqrt{\df... ...ight) =\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}+\dfrac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}$$

南海　 いよいよ大詰め．このように $\gamma_1,\ \gamma_2$ から $\beta_1,\ \beta_2,\ \beta_3,\ \beta_4$ が求まっていく． この $\beta$ たちから $\alpha$ を求めるのだ．

$$\begin{eqnarray*} (\alpha+\overline{\alpha})+(\alpha^4+\overline{\alpha^4})&=&\... ...alpha^5+\overline{\alpha}^3+\alpha^3+\overline{\alpha}^5=\beta_3 \end{eqnarray*}$$

したがって

$\alpha+\overline{\alpha}=2\cos \dfrac{2\pi}{17}$ は

$$t^2- \left(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}+\dfrac{\sqrt{34-2\sqrt{17... ...t)t +\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4}+\dfrac{\sqrt{34+2\sqrt{17}}}{4}=0$$

の解のうち正のものである．

これを計算し整理すると

$$\begin{eqnarray*} \cos \dfrac{2\pi}{17}&=&-\dfrac{1}{16}+\dfrac{\sqrt{17}}{16} ... ...}\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}} \end{eqnarray*}$$

となる．

$\alpha$ の実部が求まった．虚部は $\sin \theta=\sqrt{1-\cos^2 \theta}$ ででる．

かくして1の17乗根が求まったのだ．

以上の方法は，1796年3月30日，19歳の青年ガウス(C.F.Gauss)が目覚めて起きようとしたときに 発見したものである．そのことが「ガウス日記」に出ている．