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スツルムの定理

南海　 ふたたび実根がいくつあるかの問題に戻ろう．

$f(x)$ を実係数をもつ $n$ 次多項式

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$

とする． 方程式

$$f(x)=0$$

が与えられた区間 $[a,\ b]$ の中にいくつの実根をもつかを決定することを スツルムの問題という． 1826年にスツルム ( Strum,Jacques Charles François ; 1803-1855 ) によって完全に解かれた．

以下， $f(x)$ の零点 $\alpha$ とは $f(\alpha)=0$ となる実数 $\alpha$ のこととする．

$f_0(x)=f(x)$ と $f_1(x)=f'(x)$に対してユークリッドの互除法を行う． そのとき余りを次の定理のなかで述べられているように，通常の場合と符号を逆にとる．

定理 3 (スツルム の定理)
     実数係数の多項式 $f(x)$ が与えられている．このとき次の規則で多項式の列

$$f_0(x),\ f_1(x),\ f_2(x),\ \cdots,\ f_r(x)$$

を作る．

$$\left\{ \begin{array}{l} f_0(x)=f(x),\ f_1(x)=f'(x)\\ f_... ...． \quad つまり\ f_{r-1}(x)=f_r(x)Q_r(x) \end{array}\right.$$

$f(x)$ の零点でない実数 $a$ に対して，数の列

$$f_0(a),\ f_1(a),\ f_2(a),\ \cdots,\ f_r(a)$$

における正負の符号変化の回数を $w(a)$ と書く．ただしこの列の中に 0 が現れるときはそれをとばして数える．

$a,\ b\ (a<b)$ は $f(x)$ の零点でないとする．このとき区間 $[a,\ b]$ 内の 相異なる零点の個数(したがって重根も1つと数える)は

$$w(a)-w(b)$$

に等しい．

南海　 ユークリッドの互除法により， $f_r(x)$ は$f_0(x)=f(x)$ と $f_1(x)=f'(x)$の最大公約数である． これが互いに素，つまり $f(x)=0$ が重根をもたなければ， $f_r(x)$ は定数である．

耕一　 この種の問題を考えるのに $f(x)$ と $f'(x)$は必要だとわかります． しかしそのあと，順に $f''(x),\ f'''(x),\$と作っていってそれを調べるのかな，と 思っていたのですが，互除法で次々に決めていくのですね．

南海　 スツルムの時代，いろんな試行錯誤があったのだろう． 当然，高次微分との関係も調べられたに違いない．

高次微分の列

$$f(x),\ f'(x),\ f''(x),\ f^{(3)}(x),\ \cdots$$

の符号変化に関する定理もある．これらは『代数学講義』(高木貞治著，共立出版株式会社)を 見てほしい．それらの定理は意味深いが，任意の区間内の実根の個数を確定することはできない．

高次微分は $f^{(j-1)}(x),\ f^j(x),\ f^{(j+1)}(x)$ の3項の間の関係を 数式で表わしにくい．が，互除法ならはっきりしている． さらに互除法で余りの符号を逆にとるなどということは，ほんとにいろんな工夫の後に， スツルムにひらめいたのだ．こうして任意の区間内の実根の個数を確定するという問題を スツルムが最初に解決した．

証明

$f(x)=0$ が重根をもたない場合．

この場合， $f(x)$ と $f'(x)$ は互いに素なので， $f_r(x)$ は0でない定数で， 隣りあう2項の零点に同じものはない．

区間 $[a,\ b]$ で $a$ を固定し $b$ を動かすことを考える．

区間内の実数$\alpha$で$f(x)$の零点ではないものをとる． この$\alpha$に対し，$\alpha$を零点にもつ$f_{j_0}(x)$で，$0<j_0<r$ にあるものをとる． $x_1,\ x_2$ を $x_1<\alpha<x_2$ で区間 $[x_1,\ x_2]$ に $\alpha$以外の$f_j(x)$の零点が存在しないようにとる．

このとき $w(x_1)=w(\alpha)=w(x_2)$ である．

このような$f_{j_0}(x)$が存在しなければ，すべて符号が一定なので明らかである．

存在するときを考える． $f_{j_0}(x)$ の前後の $f_{j_0-1}(x),\ f_{j_0+1}(x)$ は $\alpha$を零点にはしないので $x=x_1,\ \alpha,\ x_2$ で同じ符号をとる．

$f_{j_0}(x)$ は $x=\alpha$ の前後で負から正に変わるとする．

$$f_{j_0-1}(\alpha)=f_{j_0}(\alpha)Q_k(x)-f_{j_0+1}(\alpha)=-f_{j_0+1}(\alpha)$$

より， $x=\alpha$ の近くで $f_{j_0-1}(x)$ と $f_{j_0+1}(x)$ は異符号である． これをもとに， $x=\alpha$ の前後の値での符号変化の回数を調べる． すると

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} x&... ... \alpha&\pm &0&\mp&1\\ \hline x_2&\pm &+&\mp&1 \end{array}$$

正から負に変わるときも同様である． したがって符号変化の回数は変わらない．

$\alpha$を零点にもつ各$f_{j_0}(x)$についていえるので， $w(x_1)=w(\alpha)=w(x_2)$ である．

次に $\alpha$ を $f(x)$ の零点とし，同様の考察を行う． $x=\alpha$ の前後で $f(x)$ が負から正に変わるとすると $f'(x)>0$ なので

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} x&f(x)&f'... ...変化数\\ \hline x_1&-&+&1\\ \hline x_2&+&+&0 \end{array}$$

$x=\alpha$ の前後で $f(x)$ が正から負に変わるとすると $f'(x)<0$ なので

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} x&f(x)&f'... ...変化数\\ \hline x_1&+&-&1\\ \hline x_2&-&-&0 \end{array}$$

$\alpha$を零点にもつ，$0<j_0<r$ の範囲の$f_{j_0}(x)$については，先の考察と同様に$\alpha$の 前後での符号変化の回数は変わらない．

よってこの場合 $w(x_1)-1=w(x_2)$である．

したがって $w(a)-w(b)$ は $b$ が $a$ から増加して $f(x)$ の零点を一つ超えるごとに1増加する．

つまり $w(a)-w(b)$ は区間 $[a,\ b]$ における $f(x)$ の零点の個数そのものである．

$f(x)=0$ が実数の重根 $\beta$ をもつ場合． $f(x)=(x-\beta)^pg(x)$ とおく．

$$f'(x)=p(x-\beta)^{p-1}g(x)+(x-\beta)^pg'(x)$$

で $(x-\beta)^{p-1}$ が$f(x)$ と $f'(x)$ の公約数なので， $(x-\beta)^{p-1}$ は $f_r(x)$ の約数でもある．

$f_0(x)$ から $f_r(x)$ のすべてを $(x-\beta)^{p-1}$ で割る．

それをあらためて

$$f_0(x),\ \cdots,\ f_r(x)$$

とする．

この新たな $f_0(x),\ \cdots,\ f_r(x)$の$x=b$ での符号は， もとの $f_0(x),\ \cdots,\ f_r(x)$の$x=b$ での符号と， $(b-\beta)^{p-1}$ の正負に よってすべて同符号かすべて異符号かのいずれかであるから，符号変化の回数は変わらない．

新たな $f_0(x),\ \cdots,\ f_r(x)$は隣りあう2項の間に共通の零点をもたないので $0<j_0<r$に対する$f_{j_0}(x)$ の零点$\alpha$ の前後で $w(b)$ の値が変わらないことは 同様である．

$\alpha$ を $f(x)$ の零点とする． $\alpha\ne \beta$ なら $\alpha$ の前後で $w(b)$ の値が1減ることも同様である．

最後に $x=\beta$ の前後でも $w(b)$ の値が1減ることを確認する．

$f_0(x)=(x-\beta)g(x)$ で $g(\beta)\ne 0$ である．

$$f_1(\beta)=g(\beta)+(\beta-\beta)g'(\beta)=g(\beta)$$

今 $x=\beta$ の前後で $g(\beta)>0$ とし，上と同様の考察をする．

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} x&f_0(x)&... ...変化数\\ \hline x_1&-&+&1\\ \hline x_2&+&+&0 \end{array}$$

つまり符号変化の回数は1減る． $g(\beta)<0$ のときも同様．

したがってこの場合も $w(x_1)-1=w(x_2)$である．

よって重根をもつ場合も $w(a)-w(b)$ は $b$ が $a$ から増加して $f(x)$ の零点を一つ超えるごとに1増加する．

つまり $w(a)-w(b)$ は区間 $[a,\ b]$ における $f(x)$ の零点の個数そのものである． ただし，重根も1つに数えている．

以上で題意が示された．□

南海　 ここで大切な注意がある．区間 $[a,\ b]$ での符号変化回数の差 $w(a)-w(b)$ を求めようとするとき，ある $f_{j_0}(x)$が区間 $[a,\ b]$ で符号が一定になったとする．

すると $j_0<j\le r$ の間の$f_j(x)$ に対し，各$f_j(x)$が途中で符号を変えても， すでに見たようにその前後の $x_1$ と$x_2$ で $w(x)$ の値が変わらず， したがって区間 $[a,\ b]$ に属する任意の $x$ に対し数列

$$f_{j_0}(x),\ f_{j_0+1}(x),\ \cdots,\ f_r(x)$$

の間で起こる符号変化の回数は一定である．．

したがって $w(a)-w(b)$を求めようとすれば

$$\begin{eqnarray*} &&f(a),\ f'(a),\ \cdots,\ f_{j_0}(a)\\ &&f(b),\ f'(b),\ \cdots,\ f_{j_0}(b) \end{eqnarray*}$$

の間の符号変化を調べその差をとれば十分である．

さて，$n$ 次方程式 $f(x)=0$ がいくつ実数解をもつかを知りたければ， まず先に見たように，根の限界を何らかの方法で見つけそれを $M$ とする． すべての実根は区間 $[-M,\ M]$ にあるので が実根の個数である．

このようにスツルムの定理と根の限界の定理を組み合わせれば，すべての実根の 個数がわかる．

そこで最初の阪大の問題だが，スツルムの定理の簡単な応用になっていることは わかるだろうか．

耕一　 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とすれば $f'(x)=3x^2+2ax+b$ ．十分大きい $M$ をとり 区間 $[0,\ M]$ をとる．この区間で$f'(x)$の符号は一定(つねに正)なので， 先の注意により $f(x)$ と $f'(x)$ の符号変化のみを調べればよい．

$f(0)>0$ なら ． $f(0)<0$ なら ．

$f(0)=0$ のとき…．

南海　 $f(0)=0$ のとき，つまり $c=0$ のときは， 任意の正の $e<M$ に対して $f(e)>0$だから ．ゆえにやはり正の解はない．

演習 1   解答1      次の方程式の実根の個数を求めよ．またそれぞれの実根は隣りあうどのような整数の間にあるか．

$$\begin{array}{ll} &(出典)\\ x^3+3x-1=0&『スツルムの解法｀.. ....11x^3-7.25x^2+1.88x-7.84=0&『代数学講義』高木貞治 \end{array}$$

南海　 区間の中に1つあることがわかれば，区間を中点で区切り調べれば，そのいずれにあるか わかる．同様にくり返せばいくらでも根の近似値を求めることができる．

演習 2   解答2

$$x^3+3x-1=0$$

の根を小数第1位まで求めよ．

演習 3   [00香川大改題] 解答3     

3次関数 $f(x)=x^3-3a^2x+a^2-a$ について，次の問いに答えよ．

1. 方程式 $f(x)=0$ が異なる3つの実数の解をもつような $a$ の値の範囲を 求めよ．
2. (1)のとき，3つの解は $-2a$ と $2a$ の間にあることを示せ．

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