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チェビシェフの多項式の係数

先の定理ではチェビシェフの多項式の最高次数の係数は求めた．他にも定数や一次の項の係数も求まり， それが入試問題にもなっている．

例 1.6.5   ［京大96後期文系］

1. $\cos 5 \theta=f(\cos \theta)$ をみたす多項式 $f(x)$ を求めよ．
2. $\cos\dfrac{\pi}{10}\cos\dfrac{3\pi}{10}\cos\dfrac{7\pi}{10}\cos\dfrac{9\pi}{10} =\dfrac{5}{16}$ を示せ．

これを一般化して次の値を求めよう.

$$\cos\dfrac{\pi}{2(2m+1)}\cos\dfrac{3\pi}{2(2m+1)}\cdots \co... ...frac{(2m+3)\pi}{2(2m+1)}\cdots \cos\dfrac{(4m+1)\pi}{2(2m+1)}$$

この積を $A$ とおこう．

$$\cos\dfrac{i\pi}{2(2m+1)},\ i=1,\ 3,\ \cdots,\ 4m+1$$

はチェビシェフの多項式 $T_{2m+1}(x)$ に対して

$$T_{2m+1}\left(\cos\dfrac{i\pi}{2(2m+1)}\right) =\cos \left( \dfrac{i(2m+1)\pi}{2(2m+1)}\right)=0$$

をみたす$2m+1$ 個の値である．つまり $T_{2m+1}(x)=0$ の$2m+1$ 個の解である．

$T_{2m+1}(x)$は奇関数で定数項は0，これに対応して上の $2m+1$ 個の解のなかに

$$\cos\dfrac{(2m+1)\pi}{2(2m+1)}=0$$

が入っている．

求める積 $A$ は，ちょうどこの0を除いた他のすべての解の積である．

$T_{2m+1}(x)$の $x$ の係数を $t_1$ とする．

$$T_{2m+1}(x)=2^{2m}x^{2m+1}+\cdots+t_1x$$

一方

$$\begin{eqnarray*} T_{2m+1}(x)&=&2^{2m}x \left(x-\cos\dfrac{\pi}{2(2m+1)}\right) ... ...quad \quad \cdots \left(x-\cos\dfrac{(4m+1)\pi}{2(2m+1)}\right) \end{eqnarray*}$$

なので，

$$2^{2m}(-1)^{2m}A=t_1$$

そこでチェビシェフの多項式 $T_n(x)$ の一次項の係数 $t_1$ を求めよう．

$$(\cos \theta+i\sin \theta)^n=T_n(\cos \theta)+i\sin \theta U_n(cos \theta)$$

であるが，さらに $T'_n(x)=n U_n(x)$ であった．

$$t_1=T'_n(0)=nU_n(0)$$

である．

$\theta=\dfrac{\pi}{2}$ とすると

$$\left(\cos \dfrac{\pi}{2}+i\sin \dfrac{\pi}{2}\right)^n =T_n... ...right)+i\sin \dfrac{\pi}{2} U_n\left(cos \dfrac{\pi}{2}\right)$$

より

$$i^n=T_n(0)+iU_n(0)$$

ゆえに$n$ が偶数なら$U_n(0)=0$であるが， $n=2m+1$ のとき

$$i^{2m}=U_{2m+1}(0)$$

$$∴ \quad t_1=(2m+1)(-1)^m$$

これから

$$A=(2m+1)\dfrac{(-1)^m}{2^{2m}}$$

を得る．